Với 150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng nâng cao có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng.
150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao – phần 2)
(199k) Học Toán 12 KNTTHọc Toán 12 CDHọc Toán 12 CTST
Bài 41: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
A. F(x) = (x2 – 8) + C
B. F(x) = x2 + 8 + C
C. F(x) = (8 – x2) + C
D. F(x) = (x2 – 8) + C.
Lời giải:
Đặt t = ⇒ x2 = t2 – 1 ⇒ xdx = tdt . Khi đó
= ∫(t2 – 3)dt = – 3t + C
= – 3 + C = (x2 – 8) + C
Đáp án: A
Bài 42: Tìm nguyên hàm của hàm số: I =
A. (- + ln| – |) + 2x + C
B. ( + ln| – |) + C
C. (- + ln| – |) + C
D. (- + ln| – |) – x + C
Lời giải:
Ta có:
Suy ra I = (- + ln| – |) + C.
Đáp án: C
Bài 43: Tìm nguyên hàm của hàm số J =
A. + 12x + 5ln|x+1| + + C
B. – 2x + 5ln|x+1| – + C
C. – 2x – 5ln|x+1| + + C
D. – 2x + 5ln|x+1| + + C
Lời giải:
Ta có: x3 + 2x + 1 = (x + 1)3 – 3(x + 1)2 + 5(x + 1) – 2
Suy ra I = ∫(x – 2 + + )dx = – 2x + 5ln|x+1| + + C
Đáp án: D
Bài 44: Tinh nguyên hàm của hàm số sau K =
A. – + – + C
B. – + – + C
C. + + + C
D. – + – + C
Lời giải:
Ta phân tích 2×2 + 1 = 2(x + 1)2 – 4(x + 1) + 3
Suy ra: K =
= – + – + C
Đáp án: B
Bài 45: Tính F(x) = . Hãy chọn đáp án đúng.
A. F(x) = + C B. F(x) = + C
C. F(x) = + C D. F(x) = – + C
Lời giải:
Đáp án: A
Bài 46: Biết hàm số F(x) = (mx + n) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = . Khi đó tích của m và n là
A. 2 B. -2 C. – D. –
Lời giải:
Cách 1: Tính = (- x + ) + C .
Suy ra m = – ; n = ⇒ m.n = –
Cách 2: Tính F'(x) =
Suy ra ⇒ m.n = –
Đáp án: D
Bài 47: Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = có đồ thị đi qua điểm (e;2016) . Khi đó hàm số F(1) là
A. √3 + 2014 B. √3 + 2016 C. 2√3 + 2014 D. 2√3 + 2016
Lời giải:
Đặt t = và tính được F(x) = + C .
F(e) = 2016 ⇒ C = 2014 ⇒ F(x) = + 2014 ⇒ F(1) = √3 + 2014
Đáp án: A
Bài 48: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ln(x + ) thỏa mãn F(0) = 1 . Chọn kết quả đúng
A. F(x) = x.ln(x + ) – + 2 B. F(x) = x.ln(x + ) – – 2
C. F(x) = x.ln(x + ) – + 1 D. F(x) = x.ln(x + ) – .
Lời giải:
Đặt u = ln(x + ) ta được
F(x) = x.ln(x + ) – + C
Vì F(0) = 1 nên C = 2
Vậy F(x) = x.ln(x + ) – + 2 .
Đáp án: A
Bài 49: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = thỏa mãn F(π) = 2017 . Khi đó F(x) là hàm số nào dưới đây?
A. x.tanx + ln|cosx| + 2017 B. x.tanx – ln|cosx| + 2018
C. x.tanx + ln|cosx| + 2016 D. x.tanx – ln|cosx| + 2017 .
Lời giải:
Đặt u = x, dv = dx ta được du = dx, v = tanx
Do đó F(x) = ∫ dx = x.tanx – ∫tanx.dx = x.tanx + ln|cosx| + C .
Vì F(π) = 2017 nên C = 2017 . Vậy F(x) = x.tanx + ln|cosx| + 2017 .
Đáp án: A
Bài 50: Tính F(x) = dx . Chọn kết quả đúng
A. F(x) = tanx + + + C
B. F(x) = tanx – + + C
C. F(x) = tanx + – + C
D. F(x) = tanx – – + C .
Lời giải:
Biến đổi F(x) = + = tanx + I(x)
Tính I(x) bằng cách đặt u = x, dv = dx ta được I(x) = –
Tính – = = ln| | + C
Kết quả F(x) = tanx + + + C
Đáp án: A
Bài 51: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + thỏa mãn điều kiện
F( ) = là
A. F(x) = -cosx + tanx + 1 – √2 B. F(x) = cosx + tanx + √2 – 1
C. F(x) = -cosx + tanx + √2 – 1 D. F(x) = -cosx + tanx .
Lời giải:
Ta có ∫(sinx + )dx = -cosx + tanx + C ⇒ F(x) = -cosx + tanx + C
F( ) = ⇔ C = √2 – 1 .
Vậy F(x) = -cosx + tanx + √2 – 1
Đáp án: C
Bài 52: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2.sin5x + √x + thỏa mãn đồ thị của hai hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là
A. F(x) = – cos5x + x√x + x + 1 B. F(x) = cos5x + x√x + x + 1
C. F(x) = 10cos5x + + x + 1 D. F(x) = – cos5x + x√x + x .
Lời giải:
Ta có F(x) = – cos5x + x√x + x + C
và F(0) = f(0) ⇔ C = 1
Vậy F(x) = – cos5x + x√x + x + 1
Đáp án: A
Bài 53: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2;3) . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (-2;3) . Tính I = (f(x) + 2x)dx , biết F(-1) = 1 , F(2) = 4 .
A. I = 6 B. I = 10 C. I = 3 D. I = 9 .
Lời giải:
Ta có I = (f(x) + 2x)dx = (F(x) + x2) = F(2) – F(-1) + 22 – (-1)2 = 6
Đáp án: A
Bài 54: Cho f(x)dx = -5, (f(x) – 2g(x))dx = 9. Tính I = g(x)dx .
A. I = 14 B. I = -14 C. I = 7 D. I = -7 .
Lời giải:
(f(x) – 2g(x))dx = 9 ⇔ f(x)dx – 2g(x)dx = 9 ⇔ f(x)dx – 2 g(x)dx = 9.
⇔ – 5 – 2I = 9 ⇔ I = -7.
Đáp án: D
Bài 55: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn f(x)dx = 7 và f(x)dx = 3 . Tính P = f(x)dx + f(x)dx .
A. P = 10 B. P = 4 C. P = 7 D. P = -4 .
Lời giải:
Ta có: P = f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx – f(x)dx
= f(x)dx – f(x)dx = 7 – 3 = 4
Đáp án: B
Bài 56: Hàm số F(x) = (ax2 + bx + c)ex là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2ex thì a+b+c bằng:
A. 3 B. 1 C. 3 D. -2 .
Lời giải:
Ta có F'(x) = f(x) ⇔ ax2 + (2a + b)x + b + c = x2 ⇔
Vậy a + b + c = 1
Đáp án: B
Bài 57: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = a + b.cos2x thỏa mãn
F(0) = ,F( ) = ,F( ) = là
A. F(x) = – x + sin2x B. F(x) = – x + sin2x +
C. F(x) = – x – sin2x + D. F(x) = – x + sin2x – .
Lời giải:
Ta có F(x) = ax + sin2x + C và
Vậy F(x) = – x + sin2x +
Đáp án: B
Bài 58: Cho hàm số F(x) = ax3 + bx2 + cx + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4. Hàm số F(x) là
A. F(x) = x2 – x + 1 B. F(x) = – x2 + x + 1
C. F(x) = – x2 – x + 1 D. F(x) = x2 + x + 1.
Lời giải:
Ta có f(x) = F'(x) = 3ax2 + 2bx + c và
Vậy F(x) = x2 + x + 1 .
Đáp án: D
Bài 59: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = tanx.sin2x thỏa mãn điều kiện F( ) = 0 là
A. F(x) = x – sin2x + – B. F(x) = x + cos2x + – 1
C. F(x) = cos3x + D. F(x) = x + sin2x – .
Lời giải:
Ta có ∫tanx.sin2x.dx = ∫(1 – cos2x)dx = x – sin2x + C ⇒ F(x) = x – sin2x + C
và F( ) = 0 ⇔ C = –
Vậy F(x) = x – sin2x + – .
Đáp án: A
Bài 60: Cho hàm số f(x) = tan2x có nguyên hàm là F(x) . Đồ thị hàm số y = F(x) cắt trục tung tại điểm A(0;2) . Khi đó F(x) là
A. F(x) = tanx – x + 2. B. F(x) = tanx + 2 .
C. F(x) = tan3x + 2 . D. F(x) = cotx – x + 2 .
Lời giải:
F(x) = ∫f(x)dx = ∫tan2xdx = tanx – x + C.
Vì đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm A(0;2) nên C = 2 .
Vậy F(x) = tanx – x +2 .
Đáp án: A
Bài 61: Tính các tích phân sau: I =
A. B. C. D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: x = (3x + 1) – (2x + 1) = ( – )( + )
Nên I = ( – )dx = =
Đáp án: B
Bài 62: Tính các tích phân sau J =
A. B. C. D. 3
Lời giải:
Ta có x = ( + )( – )
Nên
= .
Đáp án: C
Bài 63: Tính tích phân sau: |x2 – 1|dx
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
Lời giải:
= |x2 – 1|dx = -(x2 – 1)dx + (x2 – 1)dx = (x – ) + ( – x)
= 1 – + – 2 – + 1 = 2
Đáp án: B
Bài 64: Tính tích phân sau |sinx|dx
A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
Lời giải:
|sinx|dx = -sinx.dx + sinxdx = cos – cos = 1 – + 1 =
Đáp án: B
Bài 65: Tính tích phân sau
A. 2√2 B. 2√2 – 2 C. 3 D. 1
Lời giải:
= |cosx – sinx|dx = (cosx – sinx)dx + (sinx – cosx)dx
= (sinx + cosx) – (cosx + sinx) = 2√2 – 2
Đáp án: B
Bài 66: Tính tích phân I = |sin2x|dx ta được kết quả :
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Lời giải:
Nếu ≤ x ≤ ⇔ ≤ 2x ≤ π ⇒ sin2x ≥ 0
Nếu ≤ x ≤ ⇔ π ≤ 2x ≤ ⇒ sin2x ≤ 0
Khi đó: I = |sin2x|dx = sin2x.dx – sin2x.dx
= – cos2x + cos2x = – (-1 – 0) + (0 + 1) = 1
Đáp án: C
Bài 67: Tính tích phân I = |x2 – x|dx ta được kết quả I = , khi đó ta có:
A. a = 1 B. a = 2 C. a = 3 D. a = 4
Lời giải:
Nhận xét: từ các đáp án ⇒ a ≥ 1
Cho x2 – x = 0 ⇔ ( thỏa mãn)
Ta có bảng xét dấu của x2 – x trên đoạn [-1; a]
Khi đó I = (x2 – x)dx – (x2 – x)dx + (x2 – x)dx
=
=
Do I = ⇔ = ⇔ 2a3 – 3a2 – 4 = 0 ⇔ (a – 2)(2a2 + a + 2) = 0 ⇒ a = 2
Đáp án: B
Bài 68: Tính tích phân I = |x3 + x2 – x – 1|dx ta được kết quả I = , khi đó tổng a + b là:
A. 7 B. 3 C. 5 D. 9
Lời giải:
Do x3 + x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1)2 ≤ 0 , ∀x ∈ [-1;1]
Khi đó I = – (x3 + x2 – x – 1)dx = – ( + – – x) =
⇒ a = 4, b = 3 ⇒ a + b = 7
Đáp án: A
Bài 69: Tính tích phân I = ta được kết quả I = a + b.ln2 + c.ln3 ( với a, b, c là các số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức T = 2a3 + 3b – 4c là:
A. T = -20 B. T = 3 C. T = 22 D. T = 6
Lời giải:
Cho , do x ∈ [-2;0] nên x = -1
Khi đó
I =
= = 1 + 4ln2 – 2ln3 ⇒ a = 1, b = 4, c = -2
⇒ T = 2a3 + 3b – 4c = 22
Đáp án: C
Bài 70: Tính tích phân I = x|x – a|dx, a > 0 ta được kết quả I = f(a) . Khi đó tổng
f(8) + f( ) có giá trị bằng:
A. B. C. D.
Lời giải:
TH1: Nếu a ≥ 1 khi đó
I = – x(x – a)dx = (- + ) = – ⇒ f(8) = – =
TH 2: Nếu 0 < a < 1 khi đó I = – x(x – a)dx + x(x – a)dx
Khi đó f(8) + f( ) = + =
Đáp án: B
Bài 71: Tính tích phân I = |2x – 2-x|dx ta được kết quả I = ( với a,b là các số nguyên dương). Khi đó J = |2x – 3|dx có giá trị bằng:
A. J = B. J = 2. C. J = D. J = 3.
Lời giải:
Cho 2x – 2-x = 0 ⇔ = 0 ⇔ 22x = 1 ⇔ x = 0
Khi đó I = – (2x – 2-x)dx + (2x – 2-x)dx =
= ⇒ a = 1, b = 2. Khi đó J = |2x – 3|dx = J = |2x – 3|dx =
Đáp án: A
Bài 72: Tính tích phân I = |x + 1|dx .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Nhận xét: |x + 1| = Do đó
I = |x + 1|dx = |x + 1|dx + |x + 1|dx = – (x + 1)dx + (x + 1)dx
= -( + x) + ( + x) = 5
Đáp án: D
Bài 73: Biết I = = a + lnb . Chọn đáp án đúng
A. a – b = 0 B. 2a + b = 4 C. a + b = 1 D. ab = 4
Lời giải:
Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:
⇒ a + b = 1
Đáp án: C
Bài 74: Tính tích phân I =
A. I = B. I = C. I = D. I = .
Lời giải:
Đặt t = ⇒ t2 = 2x + 1 ⇔ x = ⇒ tdt = dx
x = 4 ⇒ t = 3, x = 0 ⇒ t = 1
2×2 + 4x + 1 = 2( )2 = 4. + 1 =
.
Đáp án: A
Bài 75: Tính tích phân I =
A. I = – B. I = + C. I = – D. I = –
Lời giải:
Đặt x = sint khi đó dx = costdt
Đổi cận: với x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t =
Ta có: I = = (1 – cos2t)dt
= (t – sin2t) = – .
Đáp án: C
Bài 76: Tính tích phân I = .
A. I = B. I = – C. I = D. I = – .
Lời giải:
Đặt u = ⇒ u2 = x2 + 1 ⇒ udu = xdx
x = 0 ⇒ u = 1 ; x = √3 ⇒ u = 2
= (u2 – 1)du = ( – u) = .
Đáp án: C
Bài 77: Tính tích phân: I =
A. + ln B. – ln C. ln + ln D. ln + ln
Lời giải:
Đặt ta suy ra
= + ln
Đáp án: A
Bài 78: Tính tích phân: I = (x – 2)e2x + 1dx
A. B. C. D.
Lời giải:
Đặt ta chọn
I = (x – 2)e2x + 1 – e2x + 1dx = e – e2x + 1 =
Đáp án: B
Bài 79: Tính I =
A. ln4 – 2 B. ln3 – 1 D. ln4 – ln3 + 1 D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: ⇔ 1 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx (*) .
oCách 1 :
(*) ⇔ (A + B)x2 + (2A + B + C) + A.
∀x≠{-1;0} ta có hệ sau:
oCách 2:
Cho x = 0 : thay vào (*) ta được: A = 1 .
Cho x = -1 : thay vào (*) ta được: C = -1 .
Với A = 1 và C = -1 , ta cho x = 1 ⇒ B = -1 .
Vậy .
Đáp án: D
Bài 80: Tính tích phân J = (2×2 + x + 1)ln(x + 2)dx
A. ln2 – B. ln2 + C. ln2 – D. ln2 +
Lời giải:
Đặt suy ra
J = ( x3 + x2 + x)ln(x + 2) –
= – (4×2 – 5x + 16 – )dx
= – ( x3 – x2 + 16x – 32ln(x + 2))
= ln2 –
Đáp án: C
