Đề bài:
- Tam giác ABC cân tại A
- Các đường cao: AQ, BN, CM cắt nhau tại trực tâm H
- Gọi K là điểm đối xứng của H qua Q
- Các câu hỏi từ a) đến f)
a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
Phân tích:
- H là trực tâm tam giác ABC.
- AQ là đường cao từ A ⇒ Q thuộc BC, AQ ⊥ BC.
- BN và CM là các đường cao ⇒ H là giao điểm của 3 đường cao.
- K là đối xứng của H qua Q ⇒ Q là trung điểm của đoạn HK.
Ta cần xét tứ giác BHCK.
Chứng minh:
- H, K đối xứng qua Q ⇒ HQ = QK
- AQ ⊥ BC ⇒ Q là chân đường cao từ A, tức AQ ⊥ BC
- H thuộc 3 đường cao ⇒ H nằm trên BN và CM
- Do đó: H ∈ BN và CM, còn K là đối xứng của H qua Q
⇒ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB
Xét BHCK:
- H và C cùng nằm trên CM
- B và H cùng nằm trên BN
- K là điểm đối xứng H qua Q (Q ∈ BC)
- Vậy: BH song song với CK (vì đều vuông góc với AC, do tam giác cân tại A ⇒ AC = AB)
⇒ BH ∥ CK và BH = CK (do đối xứng)
Kết luận:Tứ giác BHCK là hình bình hành(vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)
b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE
Phân tích hình học:
- Qua K vẽ đường thẳng song song BC ⇒ gọi là đường d₁
- Qua C vẽ đường thẳng song song AK ⇒ gọi là đường d₂
- E là giao điểm của d₁ và d₂.
Chứng minh:
- ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC, các đường cao từ B và C có độ dài bằng nhau, và Q là trung điểm HK (K đối xứng H qua Q)
- AK ⊥ BC (vì AQ ⊥ BC và K đối xứng H qua Q)
- Do d₁ ∥ BC, d₂ ∥ AK ⇒ d₁ ⊥ d₂
Xét hình chữ nhật KECQ:
- KC ∥ QE (do d₁ và d₂)
- KC = QE (do đối xứng qua Q và tính chất hình chữ nhật)
- Góc tại Q là vuông.
Kết luận: KC = QE
c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°
Phân tích:
- P là hình chiếu vuông góc từ K lên HC ⇒ KP ⊥ HC
- E ∈ đường thẳng song song AK
- Q nằm trên AQ ⊥ BC ⇒ AQ ⊥ BC ⇒ QE ⊥ BC ⇒ QE ⊥ AK
Chứng minh:
- ∠QPE là góc giữa QE và đường thẳng đi qua P vuông góc với HC
Do KC = QE và KC ∥ QE ⇒ tứ giác KECQ có tính chất hình bình hành đặc biệt ⇒ kết luận:
- KP ⊥ HC
- QE ⊥ AK (vì song song BC, BC ⊥ AQ)
- Mà AK ⊥ HC ⇒ QE ⊥ HC ⇒ QE ⊥ KP
⇒ ∠QPE = 90°
d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành
Phân tích:
- H, C, E, Q là các điểm đã biết
- H và K đối xứng nhau qua Q ⇒ HQ = QK
- KC = QE (chứng minh trên)
- KC ∥ QE ⇒ ⇒ HC ∥ QE
Chứng minh:
- Tứ giác HCEQ có:
-
- HQ = QE (từ đối xứng và chứng minh KC = QE)
- HC ∥ QE (vì cùng song song với AK)
⇒ Tứ giác HCEQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau
⇒ HCEQ là hình bình hành
e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH
Phân tích:
- QE cắt BN tại I
- BN là đường cao từ B ⇒ đi qua H
- BH là đoạn từ B đến H
Ta sẽ chứng minh I là trung điểm BH
Chứng minh:
Tứ giác HCEQ là hình bình hành ⇒ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ Đường chéo HQ và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ Giao điểm là trung điểm của BH (vì H nằm trên BH), QE đi qua đó
⇒ I là trung điểm của BH
f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân
Phân tích:
- Tứ giác HIEC gồm các điểm:
-
- H: trực tâm
- I: trung điểm BH (chứng minh trên)
- E: từ giao điểm QE và đường song song BC
- C: đỉnh tam giác
Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ 2 cạnh đối song song và 2 góc kề đáy bằng nhau
Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân
Điều kiện xảy ra:
- ΔABC phải là tam giác đều (vì lúc đó tam giác cân tại A, đồng thời các đường cao là cũng là trung tuyến, phân giác, đường trung trực)
- Khi đó: H là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, và trung điểm giao nhau ⇒ tạo nên các tính chất đối xứng mạnh.
Kết luận:Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ tam giác ABC đều
mong các bạn nhận xét và cho mình một đúng
