Hằng đẳng thức mở rộng (ví dụ có giải chi tiết)
Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán 8, VietJack biên soạn tài liệu Hằng đẳng thức mở rộng đầy đủ công thức, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng để biết cách làm bài tập Toán 8.
I. Lý thuyết
1. Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
( a – b + c )2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac
( a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd
2. Hằng đăng thức bậc 3 mở rộng
( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( a + c )( b + c )
a3 + b3 + c3 – 3abc = ( a + b + c )( a3 + b3 + c3 – ab – ac – bc )
a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab( a + b )
a3 – b3 = ( a – b )3 + 3ab( a – b )
3. Hằng đẳng thức bậc 4
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
5. Hằng đẳng thức bậc 5
( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 +b5
Tam giác Pascal
n = 0
1
n = 1
1 1
n = 2
1 2 1
n = 3
1 3 3 1
n = 4
1 4 6 4 1
n = 5
1 5 10 10 5 1
…….
………….
Hệ số của số đầu và số cuối luôn bằng 1
Hệ số của số hạng nhì và số hạng kế số hạng cuối luôn bằng n.
Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.
Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau (có tính đối xứng)
Mỗi số của một dòng (trừ số đầu và số cuối) đều bằng tổng của số liền trên nó cộng với số bên trái của số liền trên đó.
Công thức tổng quát
a1 + a2 + … + an )2 = a12 + a22 + … + an2 + 2a1a2 + … + 2a1an + 2a2a3 + … + an-1an
an + bn = ( a + b )( an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1 ) với n chẵn
an – bn = ( a – b )( an-1 + an-2b + an-3b2 + … + bn-1 ) với n lẻ
an – bn = ( a – b )( an-1 + an-2b + an-3b2 + … + bn-1 ) với n chẵn
= (a + b)( an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1 )
Ví dụ 1: Viết tích sau thành tổng: ( a + b )6
Hướng dẫn:
( a + b )6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +b6
Ví dụ 2: Khai triển hằng đẳng thức sau: a5 + b5
Hướng dẫn:
a5 + b5 = ( a + b )(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4
II. Bài tập vận dụng
Viết các khai triển sau
a) a6 + b6
b) a6 – b6
c) ( a + b )7
d) ( a + b )8
Xem thêm các công thức Toán lớp 8 chọn lọc, hay khác:
- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
- Chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp
- Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức
- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
