Bài viết Công thức Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (hay 7 hằng đẳng thức đáng nhớ) trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó học tốt môn Toán.
Công thức 7 Hằng đẳng thức (đầy đủ nhất)
1. Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
a) Bình phương của một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
b) Bình phương của một hiệu:
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2.
c) Hiệu hai bình phương:
A2 – B2 = (A – B) . (A + B).
d) Lập phương của một tổng:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
e) Lập phương của một hiệu:
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
f) Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B) . (A2 – AB + B2).
g) Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = (A – B) . (A2 + AB + B2).
Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng:
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC.
(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC.
(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC.
(A + B – C) 2 = A2 + B2 + C2 + 2 . (AB – AC – BC).
(A + B + C)3 = A3 + B3 + C3 + 3 . (A + B) . (A + C) . (B + C).
A4 + B4 = (A + B) . (A3 – A2B + AB2 – B3).
A4 – B4 = (A – B) . (A3 + A2B + AB2 + B3).
2. Ví dụ minh họa Các hằng đẳng thức
Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:
a) (3x – 1)2.
b) (x + 6)2.
c) (2 – x)3.
d) (2x + 3y)3.
e) (x + 2y – 1)2.
f) (2 + x + y)3.
Hướng dẫn giải:
a) (3x – 1)2 = (3x)2 – 2 . 3x . 1 + 12 = 9×2 – 6x + 1.
b) (x + 6)2 = x2 + 2 . x . 6 + 62 = x2 + 12x + 36.
c) (2 – x)3 = 23 – 3 . 22 . x + 3 . 2 . x2 – x3 = 8 – 12x + 6×2 – x3.
d) (2x + 3y)3 = (2x)3 + 3 . (2x)2 . 3y + 3 . 2x . (3y)2 + (3y)3 = 8×3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3.
e) (x + 2y – 1)2 = x2 + (2y)2 + 12 + 2 . (2xy – x – 2y) = x2 + 4y2 + 1 + 4xy – 2x – 4y.
f) (2 + x + y)3 = 23 + x3 + y3 + 3 . (2 + x) . (x + y) . (2 + y)
= 8 + x3 + y3 + (6 + 3x)(x + y) (2 + y).
= 8 + x3 + y3 + (6x + 6y + 3×2 + 3xy)(2 + y)
= 8 + x3 + y3 + (12x + 6xy + 12y + 6y2 + 6×2 + 3x2y + 6xy + 3xy2)
= 8 + x3 + y3 + 12x + 12xy + 12y + 6y2 + 6×2 + 3x2y + 3xy2.
Ví dụ 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 4 – 4x + x2.
b) 9×2 + 12x + 4.
c) 8 – 27×3.
d) x3 + 64y3.
e) y4 – 16.
Hướng dẫn giải:
a) 4 – 4x + x2 = 22 – 2 . 2 . x + x2 = (2 – x)2.
b) 9×2 + 12x + 4 = (3x)2 + 2 . 3x . 2 + 22 = (3x + 2)2.
c) 8 – 27×3 = 23 – (3x)3 = (2 – 3x) . [22 + 2 . 3x + (3x)2] = (2 – 3x) . (4 + 6x + 9×2).
d) x3 + 64y3 = x3 + (4y)3 = (x + 4y) . [x2 – x . 4y + (4y)2] = (x + 4y) . (x2 – 4xy + 16y2).
e) y4 – 16 = y4 – 24 = (y – 2) . (y3 + y2 . 2 + y . 22 + 23) = (y – 2) . (y3 + 2y2 + 4y + 8).
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x – 10)2 + (x – 3) . (x + 3).
b) (x + 2)2 + 2 . (x + 2) . (x – 2) + (x – 2)2.
c) x3 + 9×2 + 27x + 27 + (x – 1)3.
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức A = 81 – 54x + 9×2 tại x = 3.
Bài 3. Tính nhanh: 2012 – 2 . 201 . 1 + 12.
Bài 4. Viết các đa thức sau thành tích:
a) 8 – y3.
b) 4×2 – 64.
c) x3 + 27y3.
Bài 5. Viết biểu thức tính diện tích hình vuông có cạnh 4x – 5 dưới dạng đa thức.
Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:
-
Công thức nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, chia đa thức cho đơn thức
-
Công thức tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số trò chơi đơn giản
-
Công thức tính xác suất thực nghiệm của một biến cố trong một số trò chơi đơn giản
