10 hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng quan trọng nhất trong chương trình Toán đại số, giúp học sinh giải nhanh các bài toán biến đổi biểu thức, phân tích đa thức và rút gọn. Bài viết này tổng hợp đầy đủ 7 hằng đẳng thức lớp 9, các hằng đẳng thức mũ 3, cùng 12 hằng đẳng thức mở rộng và bài tập minh họa chi tiết.
1. Hằng đẳng thức là gì?
Trước khi học 10 hằng đẳng thức đáng nhớ, ta cần hiểu khái niệm cơ bản.
1.1. Định nghĩa
Hằng đẳng thức là đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị của các biến trong biểu thức.
1.2. Phân biệt hằng đẳng thức và phương trình
Tiêu chí Hằng đẳng thức Phương trình Tính đúng Đúng với mọi giá trị của biến Chỉ đúng với một số giá trị Ký hiệu Dùng dấu “≡” hoặc “=” Dùng dấu “=” Ví dụ ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2) (x + 1 = 3)
2. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (Lớp 8, 9)
Dưới đây là 7 hằng đẳng thức lớp 9 trong chương trình phổ thông cơ bản:
2.1. Hằng đẳng thức số 1: Bình phương của tổng
((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2)
Cách nhớ: “Bình phương số đầu, cộng hai lần tích, cộng bình phương số sau”
Ví dụ:
- ((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9)
- ((2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25)
2.2. Hằng đẳng thức số 2: Bình phương của hiệu
((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2)
Cách nhớ: “Bình phương số đầu, trừ hai lần tích, cộng bình phương số sau”
Ví dụ:
- ((x – 4)^2 = x^2 – 8x + 16)
- ((3a – 2)^2 = 9a^2 – 12a + 4)
2.3. Hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương
Hằng đẳng thức số 3 là một trong những HĐT được sử dụng nhiều nhất:
(A^2 – B^2 = (A + B)(A – B))
Cách nhớ: “Hiệu hai bình phương bằng tổng nhân hiệu”
Ví dụ:
- (x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3))
- (4a^2 – 25 = (2a + 5)(2a – 5))
- (81 – y^2 = (9 + y)(9 – y))
2.4. Hằng đẳng thức số 4: Lập phương của tổng
Hằng đẳng thức mũ 3 đầu tiên:
((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3)
Cách nhớ: “Lũy thừa A giảm dần từ 3 về 0, lũy thừa B tăng dần từ 0 lên 3, hệ số là 1-3-3-1”
Ví dụ:
- ((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8)
- ((a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1)
2.5. Hằng đẳng thức số 5: Lập phương của hiệu
((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3)
Cách nhớ: “Giống HĐT số 4 nhưng dấu xen kẽ: +, -, +, -”
Ví dụ:
- ((x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1)
- ((2a – 3)^3 = 8a^3 – 36a^2 + 54a – 27)
2.6. Hằng đẳng thức số 6: Tổng hai lập phương
(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2))
Cách nhớ: “Tổng hai lập phương bằng tổng nhân bình phương thiếu (dấu trừ ở giữa)”
Ví dụ:
- (x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4))
- (27a^3 + 1 = (3a + 1)(9a^2 – 3a + 1))
2.7. Hằng đẳng thức số 7: Hiệu hai lập phương
(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2))
Cách nhớ: “Hiệu hai lập phương bằng hiệu nhân bình phương thiếu (dấu cộng ở giữa)”
Ví dụ:
- (x^3 – 27 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9))
- (8a^3 – 125 = (2a – 5)(4a^2 + 10a + 25))
3. Bảng tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Dưới đây là bảng tổng hợp HĐT đáng nhớ cơ bản:
Số Tên gọi Công thức 1 Bình phương của tổng ((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2) 2 Bình phương của hiệu ((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2) 3 Hiệu hai bình phương (A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)) 4 Lập phương của tổng ((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3) 5 Lập phương của hiệu ((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3) 6 Tổng hai lập phương (A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)) 7 Hiệu hai lập phương (A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2))
4. 10 hằng đẳng thức đáng nhớ (Mở rộng)
Ngoài 7 HĐT cơ bản, còn có 3 hằng đẳng thức số mở rộng quan trọng:
4.1. Hằng đẳng thức số 8: Bình phương của tổng ba số
Hằng đẳng thức số 8 mở rộng cho ba số hạng:
((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA)
Cách nhớ: “Tổng các bình phương cộng hai lần tổng các tích đôi một”
Ví dụ:
((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx)
((a + b + 1)^2 = a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2b + 2a)
4.2. Hằng đẳng thức số 9: Tổng và hiệu các lập phương
(A^3 + B^3 + C^3 – 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 – AB – BC – CA))
Hệ quả quan trọng: Nếu (A + B + C = 0) thì (A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC)
4.3. Hằng đẳng thức số 10: Công thức nhị thức Newton
((A + B)^n = sum_{k=0}^{n} C_n^k A^{n-k} B^k)
Trong đó (C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}) là hệ số tổ hợp.
5. Bảng tổng hợp 10 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bảng đầy đủ 10 hằng đẳng thức đáng nhớ:
Số Công thức 1 ((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2) 2 ((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2) 3 (A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)) 4 ((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3) 5 ((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3) 6 (A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)) 7 (A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)) 8 ((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA) 9 (A^3 + B^3 + C^3 – 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 – AB – BC – CA)) 10 ((A + B)^n = sum_{k=0}^{n} C_n^k A^{n-k} B^k)
6. 12 hằng đẳng thức (Bổ sung thêm)
Ngoài 10 hằng đẳng thức đáng nhớ, còn có thêm 2 HĐT thường gặp:
6.1. Hằng đẳng thức số 11: Hiệu các lũy thừa bậc n
(A^n – B^n = (A – B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + A^{n-3}B^2 + … + AB^{n-2} + B^{n-1}))
6.2. Hằng đẳng thức số 12: Tổng các lũy thừa bậc lẻ
(A^n + B^n = (A + B)(A^{n-1} – A^{n-2}B + A^{n-3}B^2 – … – AB^{n-2} + B^{n-1})) (với n lẻ)
7. Hằng đẳng thức mũ 3 chi tiết
Các hằng đẳng thức mũ 3 là nhóm HĐT quan trọng trong chương trình lớp 8, 9:
7.1. Tổng hợp các hằng đẳng thức mũ 3
Loại Công thức Dạng khai triển Lập phương của tổng ((A + B)^3) (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3) Lập phương của hiệu ((A – B)^3) (A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3) Tổng hai lập phương (A^3 + B^3) ((A + B)(A^2 – AB + B^2)) Hiệu hai lập phương (A^3 – B^3) ((A – B)(A^2 + AB + B^2))
7.2. Công thức rút gọn hằng đẳng thức mũ 3
Hai công thức rút gọn hữu ích:
- ((A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B))
- ((A – B)^3 = A^3 – B^3 – 3AB(A – B))
8. Cách ghi nhớ hằng đẳng thức
Dưới đây là các mẹo giúp nhớ nhanh HĐT đáng nhớ:
8.1. Quy tắc dấu
Hằng đẳng thức Quy tắc dấu Bình phương của tổng Tất cả dấu cộng (+) Bình phương của hiệu Dấu trừ (-) ở số hạng giữa Lập phương của tổng Tất cả dấu cộng (+) Lập phương của hiệu Dấu xen kẽ: +, -, +, – Tổng hai lập phương Tổng × (bình phương thiếu với dấu -) Hiệu hai lập phương Hiệu × (bình phương thiếu với dấu +)
8.2. Tam giác Pascal (Hệ số)
Hệ số của các hằng đẳng thức theo tam giác Pascal:
- Bậc 2: 1 – 2 – 1
- Bậc 3: 1 – 3 – 3 – 1
- Bậc 4: 1 – 4 – 6 – 4 – 1
9. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Vận dụng 10 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các bài tập sau:
Bài tập 1: Khai triển biểu thức
Đề bài: Khai triển các biểu thức sau:
a) ((2x + 3)^2)
b) ((3a – 2b)^3)
Lời giải:
a) Áp dụng HĐT số 1:
((2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 cdot 2x cdot 3 + 3^2)
(= 4x^2 + 12x + 9)
b) Áp dụng hằng đẳng thức mũ 3 (HĐT số 5):
((3a – 2b)^3 = (3a)^3 – 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 – (2b)^3)
(= 27a^3 – 54a^2b + 36ab^2 – 8b^3)
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
Đề bài: Phân tích thành nhân tử:
a) (x^2 – 16)
b) (8x^3 + 27)
c) (x^3 – 64y^3)
Lời giải:
a) Áp dụng hằng đẳng thức số 3:
(x^2 – 16 = x^2 – 4^2 = (x + 4)(x – 4))
b) Áp dụng HĐT số 6 (tổng hai lập phương):
(8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)(4x^2 – 6x + 9))
c) Áp dụng HĐT số 7 (hiệu hai lập phương):
(x^3 – 64y^3 = x^3 – (4y)^3 = (x – 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2))
Bài tập 3: Tính nhanh
Đề bài: Tính nhanh giá trị các biểu thức:
a) (101^2)
b) (47 times 53)
Lời giải:
a) Áp dụng HĐT số 1:
(101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 cdot 100 cdot 1 + 1^2)
(= 10000 + 200 + 1 = 10201)
b) Áp dụng hằng đẳng thức số 3:
(47 times 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50^2 – 3^2)
(= 2500 – 9 = 2491)
Bài tập 4: Áp dụng hằng đẳng thức số 8
Đề bài: Khai triển ((x + y + 2)^2)
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức số 8:
((x + y + 2)^2 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4y + 4x)
(= x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4)
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức
Đề bài: Rút gọn biểu thức: (A = (x + 2)^3 – (x – 2)^3)
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức mũ 3:
((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8)
((x – 2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8)
(A = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) – (x^3 – 6x^2 + 12x – 8))
(A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 – x^3 + 6x^2 – 12x + 8)
(A = 12x^2 + 16)
10. Bài tập tự luyện
Vận dụng HĐT đáng nhớ, hãy giải các bài tập sau:
Bài 1: Khai triển ((3x – 2y)^2)
Xem đáp án
((3x – 2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: (25a^2 – 36b^2)
Xem đáp án
(25a^2 – 36b^2 = (5a)^2 – (6b)^2 = (5a + 6b)(5a – 6b))
Bài 3: Tính nhanh (99^2)
Xem đáp án
(99^2 = (100 – 1)^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801)
Bài 4: Phân tích: (x^3 + 125)
Xem đáp án
(x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 – 5x + 25))
Bài 5: Chứng minh: ((a + b + c)^2 – (a – b – c)^2 = 4a(b + c))
Xem đáp án
Áp dụng hằng đẳng thức số 3:
VT = [(a + b + c) + (a – b – c)][(a + b + c) – (a – b – c)]
= [2a][2(b + c)]
= 4a(b + c) = VP ✓
11. Kết luận
10 hằng đẳng thức đáng nhớ là công cụ không thể thiếu trong học Toán đại số. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:
- 7 hằng đẳng thức lớp 9 cơ bản trong chương trình phổ thông
- Hằng đẳng thức số 3 (hiệu hai bình phương) và hằng đẳng thức số 8 (bình phương tổng ba số)
- Các hằng đẳng thức mũ 3: lập phương của tổng, hiệu, tổng và hiệu hai lập phương
- 12 hằng đẳng thức mở rộng cho các bài toán nâng cao
- Cách ghi nhớ và áp dụng HĐT đáng nhớ vào giải toán
Hãy luyện tập thường xuyên các HĐT để thành thạo kỹ năng biến đổi biểu thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
