Đường cao của tam giác là một trong những khái niệm quan trọng được sử dụng rất nhiều trong các bài toán hình học ở trung học cơ sở cũng như trung học phổ thông. Vậy chúng ta hãy cùng tìm hiểu về định nghĩa đường cao và các tính chất đường cao trong tam giác ở bài viết này nhé.
1. Định nghĩa đường cao
Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Trong hình 1, đoạn thẳng MH là một đường cao của tam giác MNE. Ta nói MH là đường cao xuất phát từ đỉnh M (của tam giác MNE).
Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng MH là một đường cao của tam giác MNE.
Một tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Cụ thể, theo hình 2, ba đường cao MI, NK, EP của tam giác MNE cùng đi qua (đồng quy tại) điểm H. Điểm H gọi là trực tâm của tam giác MNE.
3. Tính chất đường cao trong tam giác cân, tam giác đều
Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.
Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.
Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.
Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
4. Tính chất đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao ứng với cạnh góc vuông còn lại.
Khi đó, trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của tam giác vuông đó.
5. Các dạng bài tập cơ bản về tính chất đường cao trong tam giác
5.1. Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Bài 1: Cho tam giác DMP vuông cân tại M. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm N, trên tia đối của tia MP lấy điểm H sao cho MN = MH. Chứng minh PN vuông góc với DH.
ĐÁP ÁN
Kéo dài HN cắt DP tại K.
Vì tam giác DMP vuông cân tại M nên .
Xét tam giác HMN vuông tại M có MH = MN nên tam giác HMN vuông cân tại H
(hai góc đối đỉnh)
Xét tam giác DNK có:
Suy ra NK DK
Hay HK DP
Xét tam giác DHP có hai đường cao DM và HK cắt nhau tại N nên N là trực tâm của tam giác DHP
Suy ra PN vuông góc với DH.
Bài 2: Cho tam giác MNP vuông tại N. Trên đoạn thẳng NP lấy điểm A. Qua A dựng đường thẳng AB vuông góc với MP (B thuộc MP) cắt đường thẳng MN tại H. Chứng minh MA vuông góc với HP.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác MHP có:
PN MH
HB MP
mà PN và HB cắt nhau tại A
Suy ra A là trực tâm của tam giác MHP.
Nên MA vuông góc với HP
5.2. Dạng 2: Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác DMN cân tại D, có đường cao DK. Biết DM = DN = 5cm, MN = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng DK.
ĐÁP ÁN
Tam giác DMN cân tại D, có DK là đường cao suy ra DK là đường trung tuyến của tam giác DMN.
Hay K là trung điểm của MN
MK = KN = = 3cm
Xét tam giác DKN vuông tại K có:
DK2 + KN2 = DN2
DK2 + 32 = 52
DK2 = 52 – 32
DK2 = 16
DK = 4cm
Vậy độ dài đoạn thẳng DK là 4cm.
Bài 2: Cho tam giác MNA vuông cân tại M, có đường cao MH. Trên tia đối của tia HM lấy điểm K sao cho HM = HK.
a) Chứng minh: MHA = KHN.
b) Chứng minh NK vuông góc với MN.
ĐÁP ÁN
a) Tam giác MNA cân tại M có MH là đường cao nên MH là đường trung tuyến của tam giác MNA
Suy ra HN = HA
Xét tam giác MHA và tam giác KHN có:
HM = HK ( giả thiết)
HN = HA ( chứng minh trên)
Suy ra, MHA= KHN ( cạnh – góc – cạnh)
b) Vì MHN = KHN nên (hai góc tương ứng)
mà hai góc này ở vị trí so le trong
suy ra MA song song với KN
mà MA vuông góc với MN
Nên KN vuông góc với MN.
Bài 3: Cho tam giác ADE vuông tại A, đường cao AB. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của BE và AB. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt MN tại H.
a) Chứng minh tam giác ANE bằng tam giác HEN.
b) Chứng minh DN vuông góc AM.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác BMN và tam giác EMH có:
BM = ME ( giả thiết)
(hai góc đối đỉnh)
Suy ra BMN = EMH (góc – cạnh – góc)
BN = EH ( hai cạnh tương ứng)
Mà BN = NA (Vì N là trung điểm của AB)
EH = AN.
Vì AB DE, EH DE nên AB // EH
(hai góc so le trong)
Xét tam giác ANE và tam giác HEN có:
AN = HE (chứng minh trên)
(chứng minh trên)
NE là cạnh chung
Suy ra, ANE = HEN ( cạnh- góc- cạnh)
b) Vì ANE = HEN ( chứng minh trên)
suy ra ( hai góc tương ứng)
mà hai góc này ở vị trí so le trong
nên AE // HN
mà AE vuông góc với AD nên HN vuông góc với AD hay MN vuông góc với AD.
Tam giác ADM có AB, MN là hai đường cao, mà AB cắt MN tại N nên N là trực tâm của tam giác ADM
Do đó DN vuông góc với AM.
Bài viết này đã giúp các bạn hiểu rõ được thế nào là đường cao trong tam giác và các tính chất đường cao liên quan, qua đây mong các bạn hiểu rõ và nâng cao được khả năng giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Chúc các bạn học thật tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
