Góc giữa 2 mặt phẳng là một khái niệm trong không gian ba chiều thuộc một trong những kiến thức rất quan trọng của chương trình toán học lớp 11. Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bằng cách sử dụng các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và công thức tính góc. Qua đó, ta có thể xác định mức độ vuông góc hay nghiêng giữa hai mặt phẳng trong không gian. Để tìm hiểu chi tiết hơn về góc giữa 2 mặt phẳng, mời các em học sinh tham khảo định nghĩa, cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng chính xác nhất qua chia sẻ của VOH Giáo dục dưới đây:
1. Góc giữa 2 mặt phẳng là gì?
Để giúp các bạn nắm vững kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng, đầu tiên chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của góc giữa 2 mặt phẳng.
Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:
- Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
- Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.
2. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Để có thể xác định chính xác góc giữa 2 mặt phẳng bạn áp dụng những cách sau:
Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2
Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,
Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.
Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.
Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.
Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.
3. Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng
Có 2 phương pháp bạn có thể áp dụng để tính góc giữa 2 mặt phẳng:
Phương pháp 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý hàm số sin, hàm số cos.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là ABCD và độ dài các cạnh đáy bằng a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Bài giải:
Gọi I là trung điểm đoạn SA. Ta có tam giác SAD và tam giác SAB đều
Suy ra BI SA, DI SA =>
Áp dụng định lý cosin vào tam giác BID ta được:
cos góc BID = =
Suy ra góc {(SAB),(SAD)} = 1/3
Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c mà (Q) giao với (R) = a, (P) giao với (R) = b. Suy ra =
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài giải:
Theo đề bài ta có ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a
Dựng đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AH vuông góc với CD tại H => ta có CD vuông góc với mặt phẳng (SAH).
Trong mặt phẳng (SAH) dựng AP vuông góc với SH => ta có CD vuông góc với AP => AP vuông góc với mặt phẳng (SCD).
Tiếp theo, dựng đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường AQ vuông góc với SC,
Vì BC vuông góc với AC, BC vuông góc với SA => BC vuông góc với mặt phẳng (SAC) => BC vuông góc với AQ.
Vậy AQ vuông góc với mặt phẳng (SBC).
=> Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) chính là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng ấy là AP và AQ.
Ta có :
AH =
Ta có tam giác SAC vuông cân tại A
Mặt khác tam giác APQ vuông tại P
4. Bài tập tìm góc giữa hai mặt phẳng
Dưới đây sẽ là một số bài tập để có thể giúp các bạn hiểu hơn về cách tính góc giữa hai mặt phẳng.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tâm giác vuông cân tại điểm B. SA = a và vuông góc với (ABC). Cho AB =BC = a. Yêu cầu: Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
ĐÁP ÁN
Theo đề bài ta có (SAC) giao với (SBC) = SC,
Gọi F là trung điểm đoạn AC. Suy ra BF vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Dựng BK vuông góc với SC tại K
Tam giác BFK vuông tại F
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, độ dài đoạn AB = a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Yêu cầu: Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC). Biết (DBC) là tam giác đều.
ĐÁP ÁN
Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC)
Dựa vào công thức diện tích hình chiếu của đa giác ta được:
Mà
Mặt khác
Hy vọng với những chia sẻ trên của VOH Giáo dục sẽ giúp các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về khái niệm cũng như cách tính và xác định góc giữa 2 mặt phẳng. Từ đó vận dụng giải các bài tập về dạng toán tính góc giữa 2 mặt phẳng nhanh chóng, chính xác và đạt kết quả cao trong học tập. Các em truy cập website VOH Học tập để tham khảo và cập nhật nhanh nhất các kiến thức về môn toán và các môn học khác nhé!
