Phương pháp giải:
Để giải được loại toán này, ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật thường gặp của dãy số là:
1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc trừ) với cùng một số tự nhiên.
2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với cùng một số tự nhiên khác 0.
3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của 2 số hạng đứng liền trước nó.
4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.
5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với cùng một số tự nhiên.
6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của 2 số hạng đứng liền trước nó.
7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của 3 số hạng đứng liền trước nó.
8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.
9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự.
10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên d rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.
Ví dụ 1: Viết tiếp ba số hạng của dãy số sau:
a) 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ;….
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; …..
c) 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; …..
Bài giải
Lời giải câu a
Nhận xét:
- Số hạng thứ ba của dãy số là: 3 = 1 + 2
- Số hạng thứ tư của dãy số là 5 = 2 + 3
- Số hạng thứ năm của dãy số là 8 = 3 + 5
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
Áp dụng quy luật này, ta có các số hạng tiếp theo là:
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
21 + 34 = 55
Vậy ta được dãy số là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
Lời giải câu b
- Số hạng thứ tư của dãy số là: 6 = 0 + 2 + 4
- Số hạng thứ năm của dãy số là 12 = 2 + 4 + 6
- Số hạng thứ sáu của dãy số là 22 = 4 + 6 + 12
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.
Áp dụng quy luật này ta có:
- Số hạng thứ bảy là 6 + 12 + 22 = 40
- Số hạng thứ tám là 12 + 22 + 40 = 74
- Số hạng thứ chín của dãy số là 22 + 40 + 74 = 136
Dãy số đã cho còn viết là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40 ; 74 ; 136 ; …..
Lời giải câu c
Ta có:
7 = 2 + 2 + 3
13 = 7 + 3 + 3
20 = 13 + 4 + 3
Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.
- Số hạng thứ năm là: 20 + 5 + 3 = 28
- Số hạng thứ sáu là: 28 + 6 + 3 = 37
- Số hạng thứ bảy là 37 + 7 + 3 = 47
Dãy số đã cho còn viết là 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; 28 ; 37 ; 47 ; …..
Ví dụ 2: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau: 1 ; 2 ; 6 ; 24 ; ….
Bài giải
Nhận xét:
- Số hạng thứ hai của dãy số là: 2 = 1 x 2
- Số hạng thứ ba của dãy số là: 6 = 2 x 3
- Số hạng thứ tư của dãy số là: 24 = 6 x 4
Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.
Vậy các số tiếp theo là:
24 x 5 = 120
120 x 6 = 720
720 x 7 = 5040
Dãy số đã cho còn viết là: 1; 2 ; 6; 24 ; 120 ; 720 ; 5040 ; …
Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau:
a) 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; …..
b) …. ; 390 ; 395 ; 400 (biết dãy số có 80 số hạng)
Bài giải
Lời giải câu a
Nhận xét:
- Số hạng thứ hai của dãy số là: 4 = 1 + 3 x (2 – 1)
- Số hạng thứ ba của dãy số là: 7 = 1 + 3 x (3 – 1)
- Số hạng thứ tư của dãy số là: 10 = 1 + 3 x (4 – 1)
……
- Số hạng thứ n của dãy số là: 1 + 3 x (n – 1)
Vậy số hạng thứ 50 của dãy số là:
1 + 3 x (50 – 1) = 148
Lời giải câu b
Quy luật:
- Số thứ 80 của dãy số là 400 = 80 x 5
- Số thứ 79 của dãy số là 395 = 79 x 5
- Số thứ 78 của dãy số là 390 = 78 x 5
……
- Số thứ n của dãy số là n x 5
Vậy số hạng thứ 50 của dãy số là 50 x 5 = 250
Bài tập áp dụng:
