* Đối với phương trình chính tắc của đường thẳng:
Bước 1: Thay toạ độ điểm đã cho vào x, y, z của phương trình chính tắc của đường thẳng.
Bước 2: Nếu các vế của phương trình bằng nhau thì điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.
* Đối với phương trình tham số của đường thẳng:
Bước 1: Thay toạ độ điểm đã cho vào x, y, z của phương trình tham số của đường thẳng.
Bước 2: Nếu tìm được một giá trị t thoả mãn hệ thì điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.
Ví dụ minh hoạ:
1) Trong không gian Oxyz, đường thẳng d có phương trình (frac{{x – 1}}{3} = frac{{y + 2}}{2} = frac{{z – 3}}{{ – 4}}). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?
A. Q(-2;-4;7)
B. N(4;0;-1)
C. M(1;-2;3)
D. P(7;2;1)
Giải:
Thay toạ độ điểm Q vào phương trình:
(frac{{ – 2 – 1}}{3} = – 1); (frac{{ – 4 + 2}}{2} = – 1); (frac{{7 – 3}}{{ – 4}} = – 1).
Do đó Q thuộc đường thẳng.
Thay toạ độ điểm N vào phương trình:
(frac{{4 – 1}}{3} = 1); (frac{{0 + 2}}{2} = 1); (frac{{ – 1 – 3}}{{ – 4}} = 1).
Do đó N thuộc đường thẳng.
Thay toạ độ điểm M vào phương trình:
(frac{{1 – 1}}{3} = 0); (frac{{ – 2 + 2}}{2} = 0); (frac{{3 – 3}}{{ – 4}} = 0).
Do đó M thuộc đường thẳng.
Thay toạ độ điểm P vào phương trình:
(frac{{7 – 1}}{3} = 2); (frac{{2 + 2}}{2} = 2); (frac{{1 – 3}}{{ – 4}} = frac{1}{2}).
Do đó P không thuộc đường thẳng.
Đáp án: D.
2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}{y = 1 – 3t}{z = {rm{;}} – 1 + t}end{array}} right.)?
Giải:
A. ({M_1}left( {3;1; – 1} right))
B. ({M_2}left( {2; – 3;1} right))
C. ({M_3}left( {1;3; – 1} right))
D. ({M_4}left( { – 3; – 1;1} right))
Giải:
Thay toạ độ điểm ({M_1}left( {3;1; – 1} right)) vào phương trình:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{3 = 3 + 2t}{1 = 1 – 3t}{ – 1 = – 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow t = 0).
Vì t = 0 thoả mãn hệ nên ({M_1}left( {3;1; – 1} right)) thuộc d.
Thay toạ độ điểm ({M_2}left( {2; – 3;1} right)) vào phương trình:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{2 = 3 + 2t}{ – 3 = 1 – 3t}{1 = – 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = – frac{1}{2}t = frac{4}{3}t = 2end{array} right.) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).
Vì không có t thoả mãn hệ nên ({M_2}left( {2; – 3;1} right)) không thuộc d.
Thay toạ độ điểm ({M_3}left( {1;3; – 1} right)) vào phương trình:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{1 = 3 + 2t}{3 = 1 – 3t}{ – 1 = – 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = – 1t = – frac{2}{3}t = 0end{array} right.) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).
Vì không có t thoả mãn hệ nên ({M_3}left( {1;3; – 1} right)) không thuộc d.
Thay toạ độ điểm ({M_4}left( { – 3; – 1;1} right)) vào phương trình:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{ – 3 = 3 + 2t}{ – 1 = 1 – 3t}{1 = – 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = – 3t = frac{2}{3}t = 2end{array} right.) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).
Vì không có t thoả mãn hệ nên ({M_4}left( { – 3; – 1;1} right)) không thuộc d.
Đáp án: A.
