Tiếp tuyến của đường tròn là một phần kiến thức mới trong chương trình học của các bạn học sinh cấp THCS. Vậy thế nào là tiếp tuyến của đường tròn? Làm sao để nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn? Tiếp tuyến của đường tròn có những tính chất gì? Hãy cùng tìm hiểu bài viết dưới đây để giải đáp các thắc mắc này nhé.
1. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng cắt đường tròn tại một điểm duy nhất. Hay nói cách khác đó là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại duy nhất một điểm. Điểm đó được gọi là tiếp điểm.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây
Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại 1 điểm M thì đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) và M được gọi là tiếp điểm.
2. Tính chất tiếp tuyến của đường tròn
2.1. Tính chất 1
Nếu một đường thẳng bất kì là tiếp tuyến của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn và đi qua tiếp điểm.
2.2. Tính chất 2
Nếu một đường thẳng bất kì là tiếp tuyến của đường tròn thì ta có khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp điểm chính bằng bán kính của đường tròn đó.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây
Cho d là tiếp tuyến của đường tròn (O), M là tiếp điểm ta có:
tại M
d(O, (d)) = OM = R
3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu một đường tròn và đường thẳng chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn
– Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến một đường thẳng bằng bán kính của đường tròn đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
4. Các dạng toán phổ biến hay gặp về tiếp tuyến của đường tròn
4.1. Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
*Phương pháp giải: Dựa vào tính chất, dấu hiệu tiếp tuyến của đường tròn, ta có hai cách chứng minh sau:
- Cách 1: Chứng minh một đường thẳng bất kì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm
- Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng chính bằng bán kính
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tam giác MNP cân tại M có đường trung tuyến MD. Gọi E là trung điểm của MD. Vẽ đường tròn tâm E, MD là đường kính.
Chứng minh rằng: NP là tuyến tuyến của đường tròn tâm E
ĐÁP ÁN
Xét tam giác MNP cân tại M có
MD là trung tuyến nên đồng thời cũng là đường cao
=> hay
=> NP là tiếp tuyến của đường tròn tâm E
Bài 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính DC. Kẻ đường kính HK vuông góc với đường kính DC. Từ điểm H kẻ đường thẳng d song song với đường kính DC. Chứng minh rằng: Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn
ĐÁP ÁN
Ta có: (giả thiết)
Mà d // DC tại H
=> tại H
=> d là tiếp tuyến của đường tròn O tại H
Bài 3: Cho tam giác MNP có: MN = 3, MP = 4, NP = 5. Biết D là trung điểm MP. Vẽ đường tròn đường kính MP, tâm D. Chứng minh rằng: MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm D bán kính MP
ĐÁP ÁN
Cách 1: Chứng minh MN vuông góc với MP
Ta có: MN2 = 9, MP2 = 16, NP2 = 25
=> MN2 + MP2 = NP2
=> Tam giác MNP vuông tại M
=> hay
=> MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm D bán kính MP
Cách 2: Chứng minh d(D, MN) = MD = R
Ta có: D là trung điểm của MP
=> MD = 2 = d(D, MN)
=> MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm D bán kính MP
4.2. Dạng 2: Tính toán các đại lượng
*Phương pháp giải: Dựa vào yêu cầu đề bài, tính chất tiếp tuyến của đường tròn, công thức lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải bài toán
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, kẻ dây MN (MN không phải đường kính), OM vuông góc với ON. Từ O kẻ OH vuông góc với MN tại H. Từ N, kẻ đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (N là tiếp điểm). OH cắt đường thẳng d tại J.
a) Chứng minh rằng: tam giác MNO vuông cân
b) Tính số đo góc HNJ
ĐÁP ÁN
a) Chứng minh rằng: tam giác MNO vuông cân
Ta có: OM = ON = R
=> tam giác OMN cân tại M (1)
Mà (giả thiết) (2)
Từ (1) và (2) => Tam giác MON vuông cân tại O
b) Tính số đo góc HNJ
Ta có: d là tiếp tuyến của đường tròn O
=> hay
=>
Theo phần a, ta có: tam giác MON vuông cân tại O
=>
Mà
=>
Vậy
Bài 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính ML, kẻ dây LQ sao cho. Từ Q kẻ tiếp tuyến QS với đường tròn O, từ L kẻ tiếp tuyến tại L với đường tròn O. Hai tiếp tuyến tại L và Q cắt nhau tại S
a) Tính số đo góc QLS
b) Chứng minh: tứ giác LOQS là hình chữ nhật
ĐÁP ÁN
a) Tính số đo góc QLS
Ta có: LS là tiếp tuyến của đường tròn O tại L
=>
Mà
=>
b) Chứng minh: tứ giác LOQS là hình chữ nhật
Ta có: LS là tiếp tuyến của đường tròn O tại L
=> (1)
QS là tiếp tuyến của đường tròn O tại Q
=> (2)
Xét tám giác OLQ có: OL = OQ = R
=> tam giác OLQ cân tại O
Mà => tam giác OLQ vuông cân tại O => (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác LOQS là hình chữ nhật
Vậy trên đây là toàn bộ kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn bao gồm: định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn cùng các dạng bài tập phổ biến và phương pháp giải cụ thể để các bạn học sinh tham khảo. Chúc các bạn học tập tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
