Như chúng ta đã biết về khái niệm và tính chất của đường trung tuyến trong một tam giác thường. Vậy đường trung tuyến trong tam giác cân có những tính chất và đặc điểm đặc biệt nào khác ngoài các tính chất trong tam giác thường? Bài viết dưới đây sẽ cung cấp khái niệm và một số tính chất đặc biệt đó của đường trung tuyến trong tam giác cân, các em hãy theo dõi nhé.
1. Khái niệm về đường trung tuyến trong tam giác cân
Cho tam giác ABC cân tại A (như hình dưới), đoạn thẳng AE nối đỉnh A với trung điểm E của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hay tương ứng với cạnh BC) của tam giác cân ABC.
2. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân
Cho tam giác ABC cân tại A có ba đường trung tuyến AE, BF và CG. Khi đó ta có một số tính chất sau:
- Tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau;
- Số đo của hai góc AEB và góc AEC bằng nhau và bằng 90 độ hay đường trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC;
- Hai đường trung tuyến BF và CG có độ dài bằng nhau.
3. Cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác cân
Chứng minh các tính chất trên:
(1) Do AE là đường trung tuyến của tam giác AMN nên ta có: BE = CE.
Lại có tam giác ABC cân tại A nên ta được: AB = AC và góc ABE = góc ACE.
Xét tam giác ABE và tam giác ACE ta có:
+ AB = AC
+ BE = CE
+ AE chung.
Suy ra tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau (c.c.c).
(2) Do tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau theo chứng minh trên.
Khi đó ta được: góc AEB = góc AEC.
Mà (tính chất hai góc kề bù).
Từ các điều trên ta suy ra: Số đo của hai góc AEB và góc AEC bằng nhau và bằng 90 độ.
Do đó ta có: Đường trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC.
(3) Do BF và CG là hai đường trung tuyến của tam giác AMN nên ta có: AG = BG và AF = CF.
Suy ra AB = 2AG và AC = 2AF.
Lại có tam giác ABC cân tại A nên ta được: AB = AC.
Khi đó ta được: AB = AC = 2AG = 2AF hay AG = AF.
Xét tam giác AFB và tam giác AGC có:
+ AG = AF
+ Góc A chung
+ AB = AC
Do đó tam giác AFB và tam giác AGC là hai tam giác bằng nhau (c.g.c).
Suy ra BF = GC.
Khi đó, ta được: Hai đường trung tuyến BF và CG có độ dài bằng nhau.
4. Các dạng toán liên quan đến đường trung tuyến trong tam giác cân
4.1. Dạng 1: Bài toán chứng minh
*Phương pháp giải:
Dựa vào đặc điểm và các tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân đã nêu ở trên, ta áp dụng chúng vào để chứng minh những điều mà bài toán yêu cầu chứng minh.
Ví dụ 1. Cho tam giác MNP cân tại M có ba đường trung tuyến MR, NS và PT cắt nhau tại trọng tâm O.
Chứng minh rằng: PO = NO.
Lời giải
Theo chứng minh tính chất (3) ta có: PT = NS (*).
Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác ta có:
PO = PT và NO = NS (**).
Từ (*) và (**), ta suy ra PO = NO.
4.2. Dạng 2: Tính độ dài đường trung tuyến
*Phương pháp giải:
Dựa theo giả thiết đề bài đã đưa ra, ta áp dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông để tính toán độ dài đường trung tuyến.
Ví dụ 2. Cho tam giác MNP cân tại M có đường trung tuyến kẻ từ đỉnh M là MR. Biết độ dài các cạnh sau: MN = MP = 5 cm và PN = 8 cm. Hãy tìm độ dài đoạn thẳng MR.
Lời giải
Do R là trung điểm của cạnh PN nên ta có: PN = 2PR = 8 cm.
Suy ra PR = 4 cm.
Lại có , nên suy ra tam giác MRP vuông tại R.
Trong tam giác MRP vuông tại R có:
MR2 + PR2 = MP2 (định lý Pi – ta – go)
Suy ra MR2 = MP2 – PR2.
Theo giả thiết ta có MP = 5 cm, khi đó ta có:
MR2 = 52 – 42 = 9.
Do đó, ta được MR = 3 cm.
5. Một số bài tập áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân
Bài 1. Cho tam giác MNP cân tại M có ba đường trung tuyến MR, NS và PT cắt nhau tại trọng tâm O. Trong các đáp án dưới đây hãy chỉ ra đáp án SAI:
- MS = MT
- SN = TP
- SN = 2SO
- PN = 2PR
ĐÁP ÁN
Ta có:
+ Vì S và T lần lượt là trung điểm của MP và MN, nên ta được MS = PS và MT = NT.
Lại có: MP = MN (tam giác MNP cân tại M)
Suy ra MS = MT.
+ SN = TP (theo chứng minh tính chất 3).
+ PN = 2PR, vì R là trung điểm của PN.
Chọn đáp án C.
Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M có đường trung tuyến MR. Biết số đo của góc MNP bằng 60 độ. Hãy cho biết số đo góc PMR.
- 20 độ
- 30 độ
- 45 độ
- 60 độ
ĐÁP ÁN
Ta có tam giác MPR bằng tam giác MNR (theo chứng minh tính chất 1).
Suy ra: góc PMR = góc NMR (1).
Trong tam giác MNR vuông tại R có: .
Theo giả thiết có số đo của góc MNP bằng 60 độ, nên ta được:
(2).
Từ (1) và (2), suy ra số đo góc PMR là 30 độ.
Chọn đáp án B.
Bài 3. Cho tam giác MNP cân tại M có ba đường trung tuyến MR, NS và PT cắt nhau tại trọng tâm O.
Chứng minh rằng: SO = TO và tam giác OPN cân tại O.
ĐÁP ÁN
Ta có SO + ON = SN và TO + OP = TP.
Do OP = ON (theo chứng minh của Ví dụ 1) và
SN = TP (chứng minh tính chất 3).
Từ đó ta được SO = TO.
Vì OP = ON (theo chứng minh của Ví dụ 1), ta suy ra tam giác OPN cân tại O.
Bài 4. Cho tam giác MNP cân tại M có ba đường trung tuyến MR, NS và PT cắt nhau tại trọng tâm O. Biết độ dài các cạnh sau: MR = 12 cm và PN = 6 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng PT và NS.
ĐÁP ÁN
Do R là trung điểm của cạnh PN nên ta có: PN = 2PR = 6 cm.
Suy ra PR = 3 cm.
Vì điểm O là trọng tâm của tam giác MNP, nên ta có:
OR = MR = . 12 = 4 (cm).
Trong tam giác PRO vuông tại R có:
OR2 + PR2 = PO2 (định lý Pi – ta – go).
Suy ra PO2 = 42 + 32 = 25 hay PO = 5 cm.
Lại có điểm O là trọng tâm của tam giác MNP, nên PO = PT.
Suy ra PT = PO = . 5 = (cm).
Vậy PT = NS = cm.
Bài viết trên đã cung cấp một số đặc điểm cùng với khái niệm và các tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân, mong dựa vào đó các em có thể hoàn thành xuất sắc các bài tập liên quan đến phần kiến thức này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
