Bài viết Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện.
Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
+ Bài toán 1: Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B :
– Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : = 1 (a > b > 0).
– Bước 2: Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a2; b2.
Giải hệ phương trình ta được a2; b2…
⇒ Phương trình chính tắc của elip.
+ Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai….)
– Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : = 1 (a > b > 0).
– Bước 2: Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình
( E) ta được một phương trình ẩn a2; b2
– Bước 3: Từ điều kiện T thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c.
Mà a2 – b2 = c2. Kết hợp ba phương trình trên để tìm a; b; c.
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Elip đi qua các điểm M ( 0; 3) và N( 3; ) có phương trình chính tắc là:
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip là = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm M( 0; 3) suy ra: = 1
⇔ = 1 ⇔ b2 = 9 ( 1)
Elip đi qua điểm N N( 3; ) suy ra: = 1 ( 2)
Thay( 1) vào ( 2) ta được: = 1
⇔ = 1 ⇔ a2= 25
Vậy phương trình cần tìm là: = 1
Chọn B
Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A( 0; 5).
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. Đáp án khác
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).
Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a2 – b2 = c2 = 9 ( 1)
Do điểm A(0; 5) thuộc ( E) nên:
= 1 ⇔ ⇔ b2 = 25 mà b> 0 nên b= 5.
Thay vào (1) ta được : a2 – 25 = 9 ⇔ a2 = 34
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) : = 1
Chọn D
Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).
Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé nên : 2a = 2.( 2b)
⇔ a = 2b ⇔ a2 = 4b2
Điểm ( 2; -2) thuộc Elip : = 1 ⇔ = 1
Ta được hệ: ⇒
⇒ Phương trình elip ( E) : = 1
Chọn D
Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1(-√3; 0 ) và đi qua M(1; ) là
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Do elip có một tiêu điểm là F1(- √3; 0) nên c = √3
Phương trình chính tắc của elip có dạng :
(E) : = 1 (a > b > 0) ⇒ c = = √3 ⇒ a2 – b2 = 3(1)
M(1; )∈ (E) ⇒ = 1 ⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2 b2 (2)
Giải hệ (1) và (2)
⇔ ⇔ ⇔
Vậy phương trình elip là: = 1
Chọn C
Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) và đi qua điểm M( 2; 3) là
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm: = 1 (a > b > 0).
+ Ta có elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) nên c = 2
⇒ a2- b2=c2 = 4 ⇒ a2= b2 + 4 ( 1)
+ Do elip đi qua điểm M( 2; 3) nên :
= 1 ( 2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
+ Giải phương trình ( *) ⇔ 4b2 + 9( b2+ 4) = b2 ( b2 + 4)
⇔ 4b2 + 9b2+ 36 = b4 + 4b2
⇔ b4 – 9b2 -36 = 0 ⇔ b2 = 12
⇒ a2 = b2 + 4 = 16
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) : = 1
Chọn A
Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm ,
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là = 1 (a > b > 0).
Do elip đi qua , nên ta có hệ :
⇔
Vậy elip cần tìm là = 1
Chọn C
Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đi qua A(5; 0) ?
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của elip = 1 (a > b > 0).
Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4
Do elip đi qua điểm A( 5;0) nên: = 1
⇔ a2 = 25
Phương trình chính tắc của elip : = 1
Chọn B
Ví dụ 8: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng .
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A( 6;0) suy ra: =1
⇔ =1 ⇔ a2 = 36 mà a > 0 nên a = 6.
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra :
= = ⇒ c = = = 3
⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 32= 27
Vậy phương trình cần tìm là ( E) : = 1
Chọn A
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng 2√3 ?
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0).
Do elip có tiêu cự là 2√3 nên 2c= 2√3 ⇔ c= √3.
Do ( E) đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng nên ta có
⇔
⇔ ⇔ ⇒
Vậy phương trình (E): = 1
Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A( 6;0) và có tâm sai bằng 1/2
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0).
Do ( E) đi qua điểm A(6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 nên ta có:
⇔
⇔ ⇔ ⇒ ( E ) : = 1
Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1)
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0).
Do ( E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1) nên:
⇔
⇔ ⇔ ⇒
⇔ ⇒
⇒ Phương trình chính tắc của elip(E): = 1
Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 và đi qua điểm M( 0; -1)?
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 suy ra:
2a= 4 √5 nên a= 2√5 và a2= 20
Elip đi qua điểm M(0; -1) suy ra: = 1 ( 2)
⇒ = 1 ⇒ b2 = 1
Vậy phương trình cần tìm là: = 1
Câu 5: Elip qua điểm M(2; ) và có một tiêu điểm F( 2; 0) . Phương trình chính tắc của elip là:
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip có một tiêu điểm là F( 2; 0) suy ra c= 2 và c2= 4 ⇔ a2- b2 = 4 (1).
Elip đi qua điểm M(2; ) suy ra = 1 ( 2).
Từ (1) suy ra a2= b2 + 4 thay vào (2) ta được :
= 1
⇔ 36b2 + 25( b2 +4) = 9b2 ( b2 + 4)
⇔ 36b2 + 25b2 + 100 = 9b4 + 36b2
⇔ 9b4 – 25b2 – 100 = 0
⇔ b2 = 5 nên a2 = b2 + 4 = 9
Vậy phương trình cần tìm là ( E): = 1
Câu 6: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N(2; ) và tỉ số của tiêu cự với độ dài
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm N( 2; ) suy ra: = 1 ( 1)
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra:
= = ⇒ c =
⇒ c2= .
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 ta được :
b2 = a2 – = hay 9b2 = 5a2 (2)
Thay ( 2) vào ( 1) ta được :
= 1 ⇔ = 1
⇔a2= 9 ⇔ b2 = 5
Vậy phương trình cần tìm là ( E): = 1
Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; √3) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng .
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A( 2; √3) suy ra: =1 ( 1)
Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng suy ra:
= = ⇒ c = và c2 =
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 ta được :
b2 = a2 – = nên a2= 4b2 ( 2) .
Thay ( 2) vào (1) ta được : = 1 ⇔ b2 = 4
⇒ a2 = 4b2 = 16
Vậy phương trình cần tìm là: = 1
Câu 8: . Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A( 7;0) và B(0; 3).
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là : = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A( 7; 0) suy ra: = 1
⇔ = 1 ⇔ a2= 49.
Elip đi qua điểm B(0; 3) suy ra: = 1
⇔ = 1 ⇔ b2 = 9
Vậy phương trình cần tìm là : = 1
Câu 9: Elip đi qua các điểm A( 0; 1) và N( 1; ) có phương trình chính tắc là:
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là : = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A( 0; 1) suy ra: = 1
⇔ =1 ⇔ b2 = 1 ( 1)
Elip đi qua điểm N( 1; ) suy ra: : = 1 ( 2)
Thay( 1) vào ( 2) ta được: = 1
⇔ = ⇔ a2= 4
Vậy phương trình cần tìm là ( E) : = 1
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M22;13 và N(2;53).
Bài 2. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M-3;0 và N(-4;-95).
Bài 3. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M-3;0 và N(1;32).
Bài 4. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0;1) và N(1;32).
Bài 5. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(4;95) và N(3;125).
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
- Viết phương trình chính tắc của Elip
- Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip
- Các dạng bài tập khác về đường Elip
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
