I – Kiến thức cần nhớ
¾ Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có dạng:
¾ Điều kiện cần và đủ để hai đường và tiếp xúc nhau hệ có nghiệm (nhớ: “hàm hàm, đạo đạo”)
II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
� Viết PTTT của biết có hệ số góc k cho trước
¾ Gọi là tiếp điểm. Tính .
¾ Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
¾ Giải tìm được .
@ Lưu ý. hệ số góc của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:
¾ Phương trình tiếp tuyến .
¾ Phương trình tiếp tuyến .
¾ Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc .
¾ Phương trình tiếp tuyến tạo với góc
Viết PTTT của biết đi qua (kẻ từ) điểm
¾ Gọi là tiếp điểm. tính và theo .
¾ Phương trình tiếp tuyến tại là .
¾ Do
¾ Giải phương trình và phương trình .
Viết PTTT của biết cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
¾ Gọi là tiếp điểm và tính hệ số góc theo .
¾
Đề cho
¾ Giải hoặc phương trình tiếp tuyến .
Tìm những điểm trên đường thẳng mà từ đó vẽ được tiếp tuyến với đồ thị hàm số
¾ Gọi (sao cho có một biến trong M)
¾ PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng .
¾ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
¾ Thế k từ vào được:
¾ Số tiếp tuyến của vẽ từ số nghiệm x của .
Tìm những điểm mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
¾ PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng .
¾ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
¾ Thế k từ vào được:
¾ Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với có hai nghiệm phân biệt .
¾ Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau .
@ Lưu ý.
¾
Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
¾ Đối với bài toán tìm điểm sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi và là tiếp tuyến với . Rồi áp dụng nếu cho song song và nếu cho vuông góc .
BÀI TẬP TỔNG HỢP
LỜI GIẢI
Ta có
a). Ta có
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm :
b). Ta có
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là
.
c). Phương trình hoành độ giao điểm của với trục hoành:
Với
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là
Với
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là
.
d). Gọi là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A
Vì điểm , và
Phương trình d:
Vì nên:
Với , phương trình tiếp tuyến
Với , phương trình tiếp tuyến
Tập xác định . Ta có
a). Có
Vì tiếp tuyến song song với d nên .
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: (loại, vì trùng với d).
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: .
b).
Vì tiếp tuyến vuông góc với nên,
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có .
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: .
c).
Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 300, nên có
LỜI GIẢI
Ta có:
a). Ta có
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là
b). Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có
(vô lý).
Kết luận không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
a). Với
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là
.
b). Ta có
Vì tiếp tuyến song song với d nên, . Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có
So với điều kiện (nhận), (loại)
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .
LỜI GIẢI
Ta có
Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy
Ta có
Vậy tại
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 450.
Vậy có
Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
Với (phương trình vô nghiệm).
Với
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này
LỜI GIẢI
Tập xác định
Với ,
Phương trình tiếp tuyến tại điểm : (d).
Ta có .
LỜI GIẢI
Tập xác định . Có .
Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm :
Gọi A là giao điểm của d và trục hoành , vậy
Gọi B là giao điểm của d và trục tung , vậy .
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc nên thỏa
Gọi là hoành độ tiếp điểm
Với . Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0 ; 4): .
Với
Với , phương trình tiếp tuyến .
Với , phương trình tiếp tuyến .
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
Từ đó suy ra tại .
Với , phương trình tiếp tuyến cần tìm:
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Gọi
Ta có
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM nên có
Vậy có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán.
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Gọi
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
Gọi là giao điểm của d và trục Ox, có . Vậy
Gọi B là giao điểm của d và trục Oy, có . Vậy
Ta có tam giác OAB cân tại O, theo giả thiết ta có:
Với phương trình vô nghiệm.
Với
Với ta có . Với ta có
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là ,
LỜI GIẢI
LỜI GIẢI
LỜI GIẢI
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C), sao cho d vuông góc với đường thẳng .
Phương trình tiếp tuyến d là: .
(d) vuông góc với ( ) khi và chỉ khi
Kết luận có hai tọa độ điểm M cần tìm là và .
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có .
Tọa độ giao điểm của và trục Ox là . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm A là: .
Để song song với d: khi và chỉ khi: .
Kết luận thỏa yêu cầu.
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm với đồ thị hàm số (C) nên và . Phương trình tiếp tuyến (d):
Ta có .
Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là và .
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Điểm thuộc có hoành độ là
Phương trình tiếp tuyến của tại M là:
Để song song với d: khi và chỉ khi: .
Kết luận .
LỜI GIẢI
Tập xác định . Có .
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm với đồ thị hàm số (1) nên và . Phương trình tiếp tuyến (d):
Ta có
Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là và .
LỜI GIẢI
Tập xác định . Ta có
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: (loại). Với
Phương trình tiếp tuyến tại của (C): .
Phương trình tiếp tuyến tại của (C): .
LỜI GIẢI
● Gọi . Ta có: .
● Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có hệ số góc: .
● Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên
● Do ba điểm tạo thành tam giác vuông tại O nên
.
● Vậy hoặc là các điểm cần tìm.
LỜI GIẢI
● Gọi và tiếp tuyến tại điểm M có phương trình
● Gọi .
● Khi đó tọa độ trọng tâm của là .
● Do
nên hoặc .
LỜI GIẢI
● Gọi và phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng .
● Ta có có hoành độ nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
● Theo giả thiết, ta có:
.
LỜI GIẢI
Gọi . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là . Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): , để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt , khi đó .
Có . Đặt
Vậy có hai điểm N cần tìm
LỜI GIẢI
● Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và
● Ta có: : luôn đúng .
● Gọi với là hai nghiệm của .
● Ta có:
● Dấu xảy ra thì .
LỜI GIẢI
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số (1):
. Đặt
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác 2 (3).
Gọi với là hai nghiệm của (2). Hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm A, B, C với đồ thị hàm số (1) lần lượt là:
. Theo đề bài
Kết hợp với điều kiện (3) được m = 2.
LỜI GIẢI
Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục hoành:
Đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1 . Gọi với là hai nghiệm của phương trình theo định lý Vi ét có và .
Ta có
Vậy khi .
Kết luận với thỏa yêu cầu bài toán.
LỜI GIẢI
● Phương trình hoành độ giao điểm:
● Để d cắt tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt
● Ta có: và gọi với là hai nghiệm của . Theo Viét: .
● Ta có:
khi (thỏa ).
LỜI GIẢI
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên , gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là , từ đó ta có
Với khi đó phương trình tiếp tuyến . Suy ra M là giao điểm của d và tọa độ điểm M là nghiệm của hệ .
Với khi đó phương trình tiếp tuyến . Suy ra M là giao điểm của d và tọa độ điểm M là nghiệm của hệ .
Kết luận tọa độ điểm M cần tìm là hoặc .
LỜI GIẢI
Có
Gọi , suy ra hệ số góc tiếp tuyến của tại M là , dấu xảy ra suy ra hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất là tại điểm .
Để tiếp tuyến vuông góc với d .
Kết luận với m = 4 thỏa yêu cầu đề bài.
LỜI GIẢI
● Ta có: . Hoành độ giao điểm với trục hoành: .
● Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là .
● Hệ số góc tiếp tuyếnTại điểm có hoành độ là .
● Ta có:
. Dấu xảy ra
. Vậy khi .
LỜI GIẢI
@ Phân tích và tìm hướng giải
TT cắt trục tại vuông tại
O và tạo với trục Ox một góc với .
Ta có: .
Bài giải
● Gọi là tiếp điểm . Phương trình tiếp tuyến có dạng
● Ta có: .
● Hệ số góc tiếp tuyến được tính .
● Với : phương trình vô nghiệm.
● Với
hoặc là các tiếp tuyến cần tìm.
LỜI GIẢI
● Ta có: . Gọi là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: . Do tiếp tuyến
.
● Với (loại do ).
● Với hay .
LỜI GIẢI
● Ta có: . Gọi là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: . Do
.
● Phương trình tiếp tuyến là hay .
LỜI GIẢI
@ Phân tích và tìm hướng giải
Viết PTTT tại M khi biết . Tìm tọa độ và tính ?
Bài giải
● Ta có: và .
● Phương trình tiếp tuyến tại là .
● Ta có: thỏa .
● Ta lại có: thỏa .
@ Phân tích và tìm hướng giải
Tiếp tuyến mà vuông cân tại O song song với phương trình đường thẳng phân
giác góc phần tư thứ I và thứ II
.
LỜI GIẢI
● Ta có: . Gọi là tiếp điểm và tiếp tuyến là .
● Theo đề
.
● Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .
@ Phân tích và tìm hướng giải
Gọi là tiếp điểm
tọa độ điểm A theo giải .
LỜI GIẢI
Ta có: . Gọi là tiếp điểm.
● Phương trình tiếp tuyến tại M là
● Ta có:
.
● Theo đề
● Thế vào các tiếp tuyến cần tìm là: .
@ Phân tích và tìm hướng giải
Gọi là tiếp điểm thì và có . Khi đó ta có hai hướng xử lý: một là áp dụng công thức hai là sử dụng với và là véctơ pháp tuyến của và tiếp tuyến d.
LỜI GIẢI
● Gọi là tiếp điểm và .
● Phương trình tiếp tuyến có dạng và có véctơ pháp tuyến . Ta có: .
● Theo đề:
.
● Với .
● Với (loại do ).
● Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hoặc .
@ Phân tích và tìm hướng giải
Gọi là tiếp điểm . Do cách đều hai điểm A và B nên có các trường hợp sau đây xảy ra: tiếp tuyến qua trung điểm I của AB hoặc song song với AB hoặc trùng với AB . giải hai trường hợp .
LỜI GIẢI
● Gọi tiếp tuyến
● Do tiếp tuyến cách đều hai điểm và nên có các trường hợp:
Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm của AB
.
Trường hợp 2. hoặc .
Phương trình đường thẳng
. Thế vào được hoặc .
● Vậy hoặc hoặc .
@ Phân tích và tìm hướng giải
là tiếp điểm . Do sẽ thu được một phương trình với hai ẩn và sẽ thu thêm được một phương trình nữa. Giải hệ này tìm được .
LỜI GIẢI
● Gọi và tiếp tuyến có (do tiếp tuyến // )
● Vì
.
● Vậy là các giá trị cần tìm.
LỜI GIẢI
● Ta có: .
● Mà là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M và có phương trình
● thỏa
thỏa .
với .
● Theo đề:
.
LỜI GIẢI
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng:
và nên .
LỜI GIẢI
Gọi là tiếp điểm. Theo đề thì hay
. Với tiếp tuyến là và với .
LỜI GIẢI
Gọi là tiếp điểm. phương trình tiếp tuyến tại M có
dạng . Khi đó: và .
Để M là trung điểm của đoạn AB thì
. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .
LỜI GIẢI
Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có vtpt .
Đường thẳng có vtpt .
Theo đề .
YCBT ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
.
LỜI GIẢI
Giả sử tiếp tuyến d của tại cắt Ox tại A, cắt Oy tại B
sao cho . Do vuông tại O nên hệ số góc của d bằng hoặc . Mà hệ số góc của d là:
hoặc .
Khi đó có hai tiếp tuyến là: hoặc .
LỜI GIẢI
● Hàm số được viết lại: .
● Vì tiếp tuyến nên .
● Gọi là tiếp điểm .
● Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: .
Hay hoặc là hai tiếp tuyến tại M.
● Khi đó, tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng d và tiếp tuyến
thỏa .
thỏa .
● Vậy có hai điểm M là hoặc thỏa yêu cầu bài toán.
LỜI GIẢI
Gọi .
Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên hay
(nhận) hoặc (loại).
Theo đề .
Vậy hoặc thì thỏa yêu cầu bài toán.
LỜI GIẢI
Gọi . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M:
hay
Phương trình hoành độ giao điểm:
.
Theo đề: .
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: .
LỜI GIẢI
Gọi và phương trình tiếp tuyến tại M:
và
. Do
Giải phương trình này, sẽ tìm được cần tìm.
LỜI GIẢI
Gọi . Khi đó tiếp tuyến tại M dạng
. Khi đó khoảng cách từ đến tiếp tuyến là:
Hay và khi và chỉ khi
.
Vậy: hoặc là hai điểm cần tìm
