1. Tứ giác, tứ giác lồi
Định nghĩa
+ Tứ giác $ABCD$ là một hình gồm bốn đoạn thẳng $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
+ Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào
Chú ý:
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Định lý tổng các góc của một tứ giác
Định lý : Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360^0}$ .
2. Hình thang, hình thang cân
a. Hình thang
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng ${180^0}$
Nhận xét:
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
+ Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
b. Hình thang cân
Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tính chất:
+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
3. Đường trung bình
a. Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
b. Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
4. Đối xứng trục
Định nghĩa: Hai điểm $A,B$ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Hai hình đối xứng qua một đường thẳng
Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng $d$ và ngược lại. Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hai hình đó
Hình có trục đối xứng
Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua đường thẳng $d$ cũng thuộc hình $H$ . Ta nói hình $H$ có trục đối xứng.
5. Hình bình hành
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song .
Tính chất:
Trong hình bình hành:
+ Các cạnh đối bằng nhau
+ Các góc đối bằng nhau
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
6. Đối xứng tâm
Hai điểm đối xứng qua một điểm
Định nghĩa: Hai điểm $A$ , $B$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Hai hình đối xứng qua một điểm
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm $O$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm thuộc hình kia qua điểm $O$ và ngược lại. Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.
Hình có tâm đối xứng
Định nghĩa: Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua điểm $O$ cũng thuộc hình $H$ . Ta nói hình $H$ có tâm đối xứng.
Định lý: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
Chú ý: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.
7. Hình chữ nhật
Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Chú ý: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.
Tính chất:
+ Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân.
– Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau
– Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Áp dụng vào tam giác
Định lí:
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
8. Hình thoi
Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất: Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
+ Các cạnh đối song song, các góc đối bằng nhau
+ Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Định lý: Trong hình thoi:
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
9. Hình vuông
Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Nhận xét 1:
+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
Tính chất:
+ Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
+ Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau
Nhận xét 2:
Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
