Bài tập về Đường thẳng và Parabol Toán 9 bao gồm lý thuyết và các dạng toán khác nhau về đường thẳng Parabol giúp các em nắm vững kiến thức được học, vận dụng làm bài tập hiệu quả và chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán sắp tới.
Video bài giảng: Tương giao đường thẳng và parabol Toán 9
Video bài giảng tương giao đường thẳng và parabol Toán 9 giúp học sinh nắm vững cách tìm giao điểm, điều kiện tiếp xúc và giải nhanh bài tập bám sát đề thi vào lớp 10.
Các bài toán về đường thẳng và parabol
I. Tương giao giữa parabol và đường thẳng
Cho đường thẳng và parabol . Khi đó số giao điểm của (d) và (P) bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: .
Ta có bảng sau đây:
Số giao điểm của (d) và (P) Biệt thức của phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) Vị trí tương đối của (d) và (P) 0 (d) không cắt (P) 1 (d) tiếp xúc với (P) 2 (d) giao với (P) tại hai điểm phân biệt
II. Cách giải bài toán tương giao giữa (d) và (P)
Chú ý: Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của và :
+) Nếu (*) vô nghiệm thì không cắt .
+) Nếu (*) có nghiệm kép thì tiếp xúc.
+) Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì cắt tại hai điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Ta có bảng giá trị:
Đồ thi đi qua các điểm
Đồ thị là một đường thẳng song song với trục hoành.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
a) Để và có một điểm chung duy nhất
Vậy là giá trị cần tìm.
b) Để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Vậy là giá trị cần tìm.
c) Để và không có điểm chung
Vậy thì và không có điểm chung.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
Ta có:
nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
Ta thấy: nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác
Ta có:
Theo hệ thức Vi – ét ta có:
Thay vào (**) ta được:
Yêu cầu bài toán tương đương với
Vậy để đường thẳng cắt tại 2 điểm phân biệt sao cho .
Hướng dẫn giải
a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
Ta có: .
Vậy tọa độ các giao điểm là
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
Để (P) và (d) tại hai điểm phân biệt x1; x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó
Cách 1: Khi m > -1 ta có:
Cách 2: Khi m > -1 ta có:
Theo yêu cầu bài toán ta có:
Vậy để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho |x1 – x2| = 2 thì .
II. Bài tập và các dạng toán về đường thẳng và parabol
Bài 1: Cho parabol và đường thẳng .
1. Với n = 1, hãy:
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (d) và (P).
c) Tính diện tích tam giác AOB.
2. Tìm các giá trị của n để:
a) (d) và (P) tiếp xúc nhau.
b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía đối của trục Oy.
Bài 2: Cho parabol và đường thẳng .
1. Với m = 3, hãy:
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm M và N của (d) và (P).
c) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
2. Tìm các giá trị của m để:
a) (d) và (P) tiếp xúc nhau.
b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;2) và đường thẳng .
1. Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua M và song song với (d).
2. Cho parabol . Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B nằm cùng phía đối với trục tung.
Bài 4: Cho parabol với .
1. Xác định tham số m biết đồ thị hàm số đi qua A(3;3). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
2. Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4, cắt (P) trên tại hai điểm A, B. Tính diện tích tam giác AOB.
Bài 5: Cho parabol và đường thẳng .
1. Xác định tham số a biết (P) đi qua A(1;-1).
2. Biện luận số giao điểm của (P) và (d) theo tham số m.
Bài 6: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol (m là tham số) và hai đường thẳng và .
1. Tìm tọa độ giao điểm A của và .
2. Tìm giá trị của m để (P) đi qua A. Vẽ (P) với m vừa tìm được.
3. Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 7: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol và đường thẳng .
1. Vẽ (P).
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho (d) tiếp xúc với (P).
3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 8: Cho parabol và đường thẳng .
1. Chứng minh và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
2. Xác định để nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác với vừa tìm được.
Bài 9: Cho và đường thẳng đi qua có hệ số góc .
1. Chứng minh (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. Chứng minh tam giác IHK vuông tại I.
Bài 10: Cho parabol và đường thẳng . Tìm các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thỏa mãn:
1. .
2. .
Bài 11: Cho parabol (P) có đồ thị đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm .
a) Viết phương trình của (P).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm có hoành độ thỏa mãn .
Bài 12: Cho parabol và đường thẳng .
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2.
b) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Gọi là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm các giá trị của tham số m để .
Bài 13: Cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 14. Cho các điểm A(-2; 0) ; B(0; 4) ; C(1; 1) ; D(-3; 2)
a. Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 15: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 16: Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A(0; 1); B(1; 3).
a) Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c) Viết phương trình đường thẳng d1vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d) Chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho CD = 2.
Bài 17: Cho (P): y = x2 và hai đường thẳng (a), (b) có phương trình lần lượt là:
y = 2x – 5 (a)
y = 2x + m (b)
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng (a) không cắt (P).
b) Tìm m để đường thẳng (b) tiếp xúc với (P), với m tìm được hãy:
+ Chứng minh các đường thẳng (a), (b) song song với nhau.
+ Tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với (b).
+ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng . Tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d).
Bài 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = 2mx + 4 (m là tham số) và parabol (P): y = x2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn (x1 + x2) 2 = mx1 .x2?
Bài 19: Số giá trị nguyên của m để đường thẳng (d): y = mx + m + 1 và parabol (P): y = x 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) thỏa mãn y 1 + y 2 < 5 là bao nhiêu?
–
Thông qua bài viết “Bài tập về đường thẳng và parabol Toán 9”, các em đã được tiếp cận hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa đường thẳng và parabol – một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 9. Đây không chỉ là kiến thức nền tảng phục vụ kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 mà còn là bước đệm quan trọng cho các lớp học cao hơn.
Để học tốt phần này, các em nên thường xuyên luyện tập, kết hợp các dạng bài tìm tọa độ giao điểm, viết phương trình đường thẳng cắt parabol, hay giải bài toán thực tế có liên quan đến đồ thị. Đừng quên tải về và tham khảo thêm tài liệu về đường thẳng và parabol được cập nhật thường xuyên tại website của chúng tôi, giúp việc ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn. Hãy lưu lại bài viết và chia sẻ cho bạn bè cùng học để cùng nhau chinh phục điểm cao môn Toán 9 nhé. Đón đọc thêm nhiều bài viết bổ ích khác trong chuyên mục Tài liệu ôn thi Toán lớp 9 để không bỏ lỡ kiến thức nào quan trọng!
