Bài tập về nhị thức Newton bao gồm rất nhiều dạng bài tập như tính tổng, tìm hệ số và áp dụng để khai triển lũy thừa, rút gọn biểu thức. Để làm tốt bài tập liên quan đến nhị thức Newton, các em học sinh cần chú ý nắm chắc những kiến thức liên quan và thường xuyên ôn tập để có kết quả tốt nhất.
1. Một số nội dung quan trọng
Khi giải các dạng bài tập về nhị thức Newton, kiến thức về chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị và các công thức liên quan rất quan trọng, dùng để áp dụng và giải theo yêu cầu của đề. Yêu cầu các bạn học sinh nắm chắc và học thuộc công thức liên quan.
- Hoán vị: Số hoán vị của n (n ≥ 1) phần tử khác nhau được kí hiệu là và có dạng tổng quát như sau:
- Chỉnh hợp: Các chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau được kí hiệu là và có dạng tổng quát như sau:
- Tổ hợp: Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là và có dạng tổng quát như sau:
** Tính chất liên quan: Với mọi n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n; ta có:
2. Công thức về nhị thức Newton
3. Các dạng bài tập cơ bản
Bài tập 1: Giải các phương trình liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp:
Cho . Hãy tìm n thỏa mãn điều kiện đó?
Giải: Xét n ≥ 2. Ta có:
Nên ⇔ ⇔ n = 5 hoặc n = -6
Xét với điều kiện n ≥ 2 ta tìm được n = 5.
Vậy n = 5 thỏa mãn biểu thức
Bài tập 2: Rút gọn và chứng minh biểu thức sau:
Hãy tính tổng S như sau:
Giải: Giả sử ta sẽ áp dụng công thức về nhị thức Newton với a = 1; b = -2;
Ta có:
Hay
Vậy giá trị của tổng S = -1
Bài tập 3: Hãy xác định hệ số, hoặc số hạng trong khai triển
Hãy tìm hệ số của hạng tử x³ trong khai triển Newton sau:
Giải: Áp dụng công thức khai triển Newton ta có:
Để tìm hệ số của hạng tử chứa x³ thì 24 – 3k =3 ⇔ k = 7
Vậy hệ số của hạng tử chứa x³ trong khai triển là: = 101376
Bài tập 4: Hãy tìm hệ số của hạng tử x3 trong khai triển Newton sau:
Giải: Áp dụng công thức khai triển Newton ta có:
Để tìm hệ số của hạng tử chứa x³ thì 24 – 3k = 3 ⇔ k = 7
Vậy hệ số của hạng tử chứa x³ trong khai triển là: = -192456
Bài tập 5: Hãy tìm hệ số của hạng tử không chứa x trong khai triển Newton sau:
Giải: Áp dụng công thức khai triển Newton ta có:
Để tìm hệ số của hạng tử không chứa x thì 10 – 2k = 0 ⇔ k = 5
Vậy hệ số của hạng tử không chứa x trong khai triển là: = 8064
Qua những kiến thức và bài tập nhỏ trên, hy vọng đã giúp bạn hiểu rõ một phần về dạng bài liên quan đến tính toán nhị thức Newton. Hãy nhớ rằng đây là dạng bài quan trong có thể áp dụng cho nhiều kiến thức khác nữa. Luyện tập nhuần nhuyễn và tìm kiếm thêm nhiều dạng bài mới sẽ tạo phản xạ để có thể xuất hiện ngay hướng giải khi gặp dạng bài liên quan đến Nhị thức Newton trong bài thi. Hẹn gặp lại các bạn học sinh trong những dạng bài toán sau.
