Tiếp tục phần giá trị lượng giác và công thức lượng giác các bạn đã học trong chương cuối của Đại số 10. Trong bài này cung cấp cho các bạn sâu hơn những kiến thức và các vấn đề quan trọng khi nhắc đến hàm số lượng giác. Qua đó, các bạn không chỉ vận dụng vào giải các bài toán liên quan tới hàm số lượng giác mà còn vận dụng hàm số lượng giác vào các bài toán trong các môn khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học,…
1. Tổng hợp kiến thức cần nắm về hàm số lượng giác 11
1.1. Hàm số y = sinx
+ Tập xác định: D =
+ Tập giá trị: T = [ -1; 1], nghĩa là
+ Hàm số tuần hoàn với chu kì T =
+ Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O
+ Có đồ thị là một đường hình sin
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng
1.2. Hàm số y = cosx
+ Tập xác định: D =
+ Tập giá trị: T = [ -1; 1], nghĩa là
+ Hàm số tuần hoàn với chu kì T =
+ Hàm số chắn nên đồ thị hàm số nhận Oy là trục đối xứng
+ Có đồ thị là đường hình sin
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng
1.3. Hàm số y = tanx
+ Tập xác định: D =
+ Tập giá trị: T =
+ Hàm số tuần hoàn với chu kì T=
+ Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
+ Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = làm một đường tiệm cận
1.4. Hàm số y = cotx
+ Tập xác định: D =
+ Tập giá trị: T =
+ Hàm số tuần hoàn với chu kì T=
+ Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
+ Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = kπ, k ∈ làm một đường tiệm cận
2. Các dạng toán quan trọng về hàm số lượng giác
2.1. Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác
∗ Phương pháp giải:
– Cách 1: Tìm điều kiện của x là tập D để f(x) có nghĩa, tức là tìm D =
– Cách 2: Tìm điều kiện của x là tập M để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là D =
* Chú ý:
+ sin(u(x)) có nghĩa khi u(x) có nghĩa
+ cos(u(x)) có nghĩa khi u(x) có nghĩa
+ tan(u(x)) = có nghĩa khi và chỉ khi cos(u(x)) ≠ 0
⇔ u(x) ≠
+ cot(u(x)) = có nghĩa khi và chỉ khi sin(u(x)) ≠ 0
⇔ u(x) ≠ kπ, k ∈
+ sin(v(x)) ≠ 1 khi và chỉ khi v(x) ≠
+ sin(v(x)) ≠ -1 khi và chỉ khi v(x) ≠
+ cos(v(x)) ≠ 1 khi và chỉ khi v(x) ≠
+ cos(v(x)) ≠ -1 khi và chỉ khi v(x) ≠ π + k2π, k ∈
Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =
Giải
Điều kiện xác định: 2x – 3 ≠ 0
⇔ 2x ≠ 3
⇔ x ≠
Vậy tập xác định của hàm số trên là D =
b) y = cos(3x + π)
Áp dụng kiến thức ở trên ta suy ra tập xác định của hàm số trên là D =
c) y =
Giải
Điều kiện xác định: ≠
⇔ 2x ≠ – + kπ, k ∈
⇔ 2x ≠ + kπ, k ∈
⇔ x ≠ + , k ∈
Vậy tập xác định của hàm số trên là D =
d) y = cot(-3x)
Giải
Điều kiện xác định: -3x ≠ kπ, k ∈
⇔ x ≠ , k ∈
* Lưu ý: Đuôi -k.u(x) đổi thành k.u(x).
2.2. Dạng 2: Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
∗ Phương pháp giải:
• Bước 1: Tìm tập xác định D, kiểm tra:
x ∈ D ⇒ – x ∈ D, ∀x ⇒ D là tập đối xứng thì chuyển qua bước tiếp theo
x ∈ D ⇒ – x ∉ D ⇒ D không phải là tập đối xứng, ta kết luận hàm số trên không chẵn, không lẻ
• Bước 2: Tính f(-x), so sánh với f(x). Có 3 khả năng xảy ra:
f(-x) = f(x) → hàm số f là hàm số chẵn
f(-x) = – f(x) → hàm số f là hàm số lẻ
Có x0 để f(-x0) ≠ f(x0) → hàm số f là hàm số không chẵn, không lẻ
* Chú ý:
cos(-x) = cos(x)
sin(-x) = – sin(x)
tan(-x) = – tan(x)
cot(-x) = – cot(x)
Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = sin(5x)
Giải
Tập xác định: D =
f(-x) = sin(-5x) = – sin(5x) = – f(x)
Do đó, hàm số trên là hàm số lẻ.
2.3. Dạng 3: Phương pháp tính chu kỳ tuần hoàn của hàm số lượng giác
∗ Phương pháp giải:
Hàm số y = sin(cx + d) tuần hoàn với chu kì là T =
Hàm số y = cos(cx + d) tuần hoàn với chu kì là T =
Hàm số y = tan(cx + d) tuần hoàn với chu kì là T =
Hàm số y = cot(cx + d) tuần hoàn với chu kì là T =
Hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì là T’, hàm số y = g(x) tuần hoàn với chu kì là T”
⇒ Hàm số y = f(x) ± g(x) tuần hoàn với chu kì T = BCNN(T’, T”)
Ví dụ: Tìm chu ki tuần hoàn của hàm số y = sin(-5x)
Giải
Áp dụng kiến thức vừa nêu trên, hàm số y = sin(-5x) tuần hoàn với chu kì T =
2.4. Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
* Chú ý:
-1 ≤ sin(v(x)) ≤ 1;
-1 ≤ cos(v(x)) ≤ 1;
0 ≤ sin2(v(x)) ≤ 1;
0 ≤ cos2(v(x)) ≤ 1;
0 ≤ ≤ 1;
0 ≤ ≤ 1.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3sin(2x) – 2
Giải
Ta có: -1 ≤ sin(2x) ≤ 1
⇔ -3 ≤ 3sin(2x) ≤ 3
⇔ -5 ≤ 3sin(2x) – 2 ≤ 1
⇔ -5 ≤ y ≤ 1
Vậy
max y = 1 khi sin(2x) = 1 ⇔ 2x = , k ∈
⇔ x = , k ∈
min y = -5 khi sin(2x) = -1 ⇔ 2x = , k ∈
⇔ x = , k ∈
3. Cùng giải bài tập hàm số lượng giác 11
Câu 1: Tập xác định của hàm số y =
A. D =
B. D =
C. D =
D. D =
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Hàm số trên là hàm phân thức, ta áp dụng điều kiện xác định của hàm phân thức là cho mẫu khác không.
Giải
Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi |sinx| ≠ 0
⇔ sinx ≠ 0
⇔ x ≠ , k ∈
Vậy tập xác định của hàm số trên là D =
Chọn đáp án B.
Câu 2: Tập giá trị của hàm số y = 2 – 3cos(3x) là:
A. [-1; 1]
B. [-2; 2]
C. [-1; 5]
D. [2; 3]
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Ta áp dụng -1 ≤ cos(v(x)) ≤ 1, sau đó thực hiện nhân chia trước, cộng trừ sau biến đổi về hàm số đề cho. Sau đó, kết luận.
Giải
Ta có -1 ≤ cos(3x) ≤ 1
⇔ 3 ≥ -3cos(3x) ≥ -3 ( nhân -3 vào ba vế của bất phương trình)
⇔ 5 ≥ 2 – 3cos(3x) ≥ -1 ( cộng 2 vào ba vế của bất phương trình)
⇔ 5 ≥ y ≥ -1
Vậy tập giá trị của hàm số trên là [-1; 5]
Chọn đáp án C.
Câu 3: Hàm số y = -7tan là hàm số tuần hoàn với chu kỳ:
A. T = π
B. T = 2π
C. T = 3π
D. T =
ĐÁP ÁN
Áp dụng công thức đã nêu ở dạng 3 ta suy ra hàm số trên tuần hoàn với chu kì T =
Chọn đáp án D.
Câu 4: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. Hàm số y = – sin(2x) là hàm số lẻ
B. Hai hàm số y = tan(-5x + π) và y = cos(4x) đều là hàm số chẵn
C. Hai hàm số y = tanx và y = cotx đều tuần hoàn với chu kì T = π
D. Hàm số y = cos(7x) + tan2x là hàm số chẵn
ĐÁP ÁN
Đáp án A đúng vì hàm số y = sin(u(x)) là hàm số lẻ nên hàm số y = – sin(u(x)) cũng là hàm số lẻ
Đáp án B sai vì hàm số y = tan(u(x)) là hàm số lẻ còn hàm số y = cos(u(x)) là hàm số chẵn
Đáp án C đúng dựa vào phần kiến thức ở mục I
Đáp án D đúng và hàm y = cos(u(x)) và y = tan2x đều là hàm số chẵn, do đó tổng của chúng cũng là hàm số chẵn
Chọn đáp án B.
Câu 5: Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Áp dụng kiến thức ở phần I, hám số y = cotx nghịch biến trên khoảng
Chọn đáp án A.
Trên đây là một số kiến thức quan trọng về hàm số lượng giác lớp 11 mà các em cần nắm chắc. Qua đó, việc hiểu rõ những kiến thức trên giúp các em tiếp thu các bài học tiếp theo một cách nhanh chóng và giải các bài tập nâng cao một cách dễ dàng hơn.
Biên soạn & chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
