Giữa kì 2 toán lớp 11 NGThiều năm học 2025–2026

Giữa kì 2 toán lớp 11 NGThiều năm học 2025-2026

Trung tâm PTNL BDKT văn hóa Ánh Dương (số 38A, ngõ 4, đường Lý Sơn, phường Việt Hưng, TP Hà Nội, điện thoại/zalo: 0347677777) được chia sẻ toàn bộ nội dung môn Toán 11 giữa kì 2 chính thức của trường THPT Nguyễn Gia Thiều. Toàn bộ nội dung: Đề cương, ma trận đề kiểm tra, đề chính thức cùng toàn bộ đáp án, đã được thầy Nguyễn Quốc Hoàn trực tiếp xây dựng với tinh thần cẩn thận, nghiêm túc và tầm nhìn dài hạn của người làm giáo dục. Nội dung bám sát yêu cầu đổi mới, phù hợp định hướng đánh giá năng lực và phát triển tư duy học sinh: không mẹo vặt, không đánh đố lắt léo, tránh các tình huống phi thực tế. Mỗi câu hỏi không chỉ kiểm tra kỹ năng giải toán thuần túy, mà còn đặc biệt chú trọng rèn luyện năng lực mô hình hóa nhằm giải quyết các bài toán thực tiễn gắn với đời sống. Thầy đã lồng ghép hợp lí các yếu tố liên môn, thời sự, giàu tính nhân văn …

Nội dung này không chỉ đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục và đảm bảo độ phân hóa tốt, mà còn truyền được cảm hứng, giúp các em nhận ra Toán học luôn gắn liền và hữu ích với cuộc sống.

Hi vọng đây là nguồn tài liệu tham khảo thiết thực, góp phần hỗ trợ quý thầy cô trong giảng dạy và ra đề, giúp các em học sinh thấy rõ mục tiêu “Đưa cuộc sống vào bài học, mang bài học vào cuộc sống”. Hy vọng nội dung này sẽ giúp các em không chỉ làm đúng, mà còn học được cách nghĩ đúng – để tự tin bằng chính năng lực của mình bước vào mọi “bài toán” của đời sống.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TIÊU BIỂU PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VÀ TƯ DUY

(Ấn đây để thử sức các đề khác)

Phần I. Lựa chọn đúng/sai.

Câu 1. Khảo sát thời gian bảo quản an toàn (tính bằng ngày) của 100 hộp thực phẩm, được bảng sau:

Thời gian (ngày)

[4 ; 6)

[6 ; 8)

[8 ; 10)

[10 ; 12)

Số hộp

5

20

50

25

Những hộp có thời gian bảo quản dưới 6 ngày bị xếp loại ngắn ngày. Để thuận tiện tính toán, mỗi nhóm được đại diện bởi giá trị trung bình của khoảng đó.

a) Trung vị thời gian bảo quản chính xác là 9 ngày.

b) Một khách hàng chọn ngẫu nhiên cùng lúc 2 hộp từ 100 hộp này. Xác suất để người đó lấy phải ít nhất 1 hộp ngắn ngày xấp xỉ 0,0979.

c) Một nhân viên kiểm tra lấy ngẫu nhiên độc lập 3 lần (mỗi lần lấy 1 hộp, ghi lại kết quả rồi trả lại vào lô). Xác suất để có đúng 2 lần lấy được hộp ở nhóm [10 ; 12) và 1 lần ở nhóm [8 ; 10) là 0,09375.

d) Lấy ngẫu nhiên độc lập 2 hộp. Xác suất để tổng các giá trị đại diện của 2 hộp này bằng đúng 18 ngày là 0,25.

Câu 2. Một nhóm học sinh dùng một tấm bạt phẳng hình chữ nhật ${MNPQ}$ có $MN=a$ và $MQ = asqrt{3}$ để dựng lều. Các bạn gấp tấm bạt theo đường chéo ${NQ}$. Phần bạt $(MNQ)$ được trải cố định nằm sát mặt đất phẳng nằm ngang. Nâng đỉnh $P$ lên cao và chống bởi một cây cột thẳng đứng. Khi tấm bạt căng phẳng, chân cột chạm mặt đất tại đúng điểm $H$ nằm trên đoạn ${NQ}$ (biết $H$ chính là chân đường cao kẻ từ $P$ xuống ${NQ}$ lúc tấm bạt còn trải phẳng).

a) Do cây cột dựng thẳng đứng nên đường thẳng ${PH}$ vuông góc với mặt đất $(MNQ)$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của nếp gấp ${NQ}$. Khoảng cách từ đỉnh lều $P$ đến $I$ bằng đúng khoảng cách từ đỉnh $M$ đến $I$.

c) Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên mép bạt ${MQ}$. Khi đó, mặt phẳng $(PHE)$ song song với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ${MQ}$.

d) Để lều không bị đọng nước mưa, thiết kế yêu cầu côsin của góc phẳng nhị diện ${ [P, MQ, N] }$ phải lớn hơn 0,4. Chiếc lều này đã đạt yêu cầu.

Phần II. Trình bày giải toán.

Câu 3. Vợ chồng anh An vay 1500 triệu đồng mua nhà với lãi suất cố định 0,6%/tháng. Ngân hàng cho công thức tính số tiền trả góp $A$ (triệu đồng) mỗi tháng theo thời hạn $n$ (tháng) là $A=dfrac{9cdot {{(1,006)}^{n}}}{{{(1,006)}^{n}}-1}$. Anh An dự định chọn mức trả 20 triệu mỗi tháng để giảm áp lực. Tuy nhiên vợ anh lại muốn, gia đình mình phải thắt lưng buộc bụng để tất toán toàn bộ khoản vay này trong không quá 60 tháng để còn chuẩn bị tài chính cho con vào đại học. Nếu gia đình thực hiện mong muốn của người vợ với mức trả hằng tháng nhỏ nhất (là một số nguyên triệu đồng), gia đình anh An sẽ tiết kiệm được bao nhiêu triệu đồng tiền lãi so với phương án dự định ban đầu?

(Quy ước: Thời gian trả nợ (số tháng) và mức trả hằng tháng đều làm tròn lên đến số nguyên. Tổng số tiền phải nộp ở mỗi phương án bằng số tiền trả hằng tháng nhân với số kỳ hạn thanh toán tương ứng).

Câu 4. Một hệ thống lọc nước đang xử lý một bể chứa có nồng độ tạp chất ban đầu là 80mg/L. Do đặc tính tự nhiên của nguồn nước, mức tạp chất nền (không thể lọc thêm) luôn duy trì ở 20mg/L. Dưới tác động của màng lọc, lượng tạp chất chênh lệch (giữa nồng độ thực tế và mức nền) sẽ giảm dần theo quy luật hàm số mũ: sau mỗi phút, lượng chênh lệch này được nhân với một hệ số $q$ không đổi ($0 < q < 1$). Nhật ký vận hành ghi nhận: Sau đúng 11 phút bật máy lọc, nồng độ tạp chất trong bể giảm xuống còn 46mg/L. Hỏi tính từ lúc bắt đầu lọc, cần thời gian tổng cộng bao nhiêu phút để nồng độ tạp chất giảm đạt chuẩn an toàn là 40mg/L? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 5. Cho hai số thực dương $a$ và $b$ (cùng khác 1), thỏa mãn điều kiện $a > b$ và $3log_a b + log_b a = 4$. Tính giá trị của biểu thức sau: $P={{log }_{a}}(sqrt{b})cdot {{log }_{sqrt{b}}}({{a}^{2}})+{{log }_{{{a}^{2}}{{b}^{6}}}}({{a}^{2}}{{b}^{3}})$.

Câu 6. Một cửa hầm rượu bằng gỗ dạng hình chữ nhật ${ABCD}$ có chiều rộng $AB = 1text{m}$, chiều dài $AD = 2text{m}$. Cạnh bản lề ${AB}$ được gắn liền với mặt sàn nhà nằm ngang $(P)$. Người ta mở cửa hầm lên sao cho mặt cửa $(ABCD)$ tạo với mặt sàn $(P)$ một góc phẳng nhị diện có số đo $30^circ$. Gọi ${C’}$ là hình chiếu vuông góc của góc cửa $C$ xuống mặt sàn $(P)$. Để giữ cửa mở an toàn, người ta lắp một thanh chống thủy lực thẳng đứng từ mặt sàn lên cửa. Biết thanh chống được dựng từ điểm $M$ (nằm trên đoạn ${AC’}$ của mặt sàn, sao cho $AM = dfrac{1}{3}AC’$), và chạm vào mặt cửa tại điểm $N$. Tính chính xác chiều cao ${MN}$ của thanh chống (bỏ qua độ dày của vật liệu).

Câu 7. Một trung tâm kĩ thuật cần lập lịch bảo trì định kì tại 2 khu vực khác nhau trong 2 ngày, tạo thành một bảng lịch trình kích thước 2$times $2 (mỗi ô ứng với một khu vực trong một ngày cụ thể). Kho nhân sự có 10 kĩ thuật viên, được chia thành 5 đội khác nhau; mỗi đội gồm đúng 2 người phân biệt.

Người quản lí chọn ngẫu nhiên 4 kĩ thuật viên từ 10 người và xếp ngẫu nhiên 4 người này vào 4 ô của bảng (mỗi ô đúng 1 người). Giả thiết mọi cách chọn 4 người và mọi cách gán 4 người vào 4 ô đều đồng khả năng. Lịch bảo trì được gọi là chuẩn kép nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

Trong 4 người được chọn, có đúng một đội xuất hiện đủ cả 2 người; 2 người còn lại thuộc 2 đội khác nhau.

Trên bảng lịch trình, 2 thành viên của đội đầy đủ người đó được phân vào 2 ngày khác nhau và 2 khu vực khác nhau (tức là nằm ở hai ô chéo nhau của bảng 2×2).

Tính xác suất để lịch bảo trì là chuẩn kép (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 8. Tủ sấy nông sản có nắp kính ${ABCD}$ ($AB=1text{m},,,AD=2text{m}$, bản lề ${AB}$ trên sàn ngang) được giữ bởi thanh chống thẳng đứng ${MN}$ ($N$ thuộc mặt nắp, $M$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên mặt sàn) để tạo với sàn góc phẳng nhị diện $60^circ$. Gọi ${AC’}$ là hình chiếu vuông góc của đường chéo ${AC}$ biết $M in AC’$ và $AM = dfrac{2}{3}AC’$.

Hệ thống được cài thời gian tự ngắt bằng đúng số trung vị của 100 mẻ sấy cũ: [4 ; 6): 5 mẻ; [6 ; 8): 20 mẻ; [8 ; 10): 50 mẻ; [10 ; 12): 25 mẻ.

Khi sấy, mức chênh lệch giữa độ ẩm nông sản và độ ẩm nền của máy (15%) giảm theo hàm số mũ. Biết mẻ sấy hôm nay chạy từ 75% xuống 41% mất 11 giờ.

Tính chiều cao thanh chống ${MN}$. Sau đó, chạy mô phỏng để kết luận xem khi máy tự ngắt, mẻ sấy hôm nay có đạt chuẩn xuất khẩu (dưới 35% ẩm) không? Cuối cùng, đánh giá rủi ro thuật toán bằng cách tính xác suất chọn ngẫu nhiên độc lập 3 mẻ cũ có đúng 2 mẻ xong dưới 8 giờ và 1 mẻ từ 10 giờ trở lên.

Câu 9. Trên một quảng trường hình vuông ${ABCD}$ cạnh $a$, người ta dựng một cột đèn thẳng đứng ${AS}$ tại góc $A$, với $AS perp (ABCD)$ và $AS = 2a$. Một thanh ray thẳng nối từ đỉnh cột $S$ đến góc đối diện $C$. Một cảm biến $M$ di chuyển trên thanh ray ${SC}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Tại một thời điểm, khoảng cách từ $H$ đến đường thẳng ${AB}$ bằng một nửa khoảng cách từ $H$ đến đường thẳng ${BD}$. Tính độ dài đoạn thẳng ${MH}$?

Câu 10. Trên mái phẳng của một nhà xưởng, người ta thiết kế một cửa thoát khói tự động được mô hình hóa bởi khối chóp tứ giác ${S.ABCD}$. Đáy ${ABCD}$ là hình vuông cạnh là $x$ (mét) (với $x$ thay đổi) nằm trên mặt mái, đỉnh $S$ nằm thẳng đứng phía trên đỉnh $A$, tức là $SA perp (ABCD)$, độ dài ${SA}$ cũng thay đổi theo thiết kế nhưng phải thỏa các điều kiện. Ở trạng thái mở được xét, cánh cửa thoát khói chính nằm trong mặt phẳng $(SBC)$ và quay quanh bản lề ${BC}$. Biết rằng: số đo góc nhị diện giữa $(SBC)$ và mặt mái $(ABCD)$ theo giao tuyến $BC$ không nhỏ hơn $60^circ$; thể tích phần không gian thoát khói (chính là thể tích khối chóp ${S.ABCD}$) không nhỏ hơn $3text{ m}^3$; và để tiết kiệm vật liệu cũng như bảo đảm chịu lực thì thanh chống ${SC}$ phải có độ dài nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của ${SC}$ là bao nhiêu mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 11. Một trung tâm kĩ thuật cần lập lịch bảo trì định kì tại 3 khu vực khác nhau trong 3 ngày, tạo thành một bảng lịch trình kích thước 3$times $3 (mỗi ô ứng với một khu vực trong một ngày cụ thể). Kho nhân sự có 12 kĩ thuật viên, được chia thành 4 đội khác nhau; mỗi đội gồm đúng 3 người phân biệt.

Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 kĩ thuật viên từ 12 người, rồi chọn ngẫu nhiên 6 ô trên bảng lịch trình và xếp ngẫu nhiên 6 người này vào 6 ô đó (mỗi ô đúng 1 người). Giả thiết mọi cách chọn và phân công đều đồng khả năng. Lịch bảo trì được gọi là chuẩn kép nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

Trong 6 người được chọn, có đúng một đội xuất hiện đủ cả 3 người; 3 người còn lại không tạo thành một đội đầy đủ thứ hai (tức không chọn đủ cả 3 người của bất kì đội nào khác; vẫn có thể có 2 người cùng một đội).

Trên bảng lịch trình, mỗi ngày có đúng 2 người trực và mỗi khu vực được bảo trì đúng 2 lần; đồng thời 3 thành viên của đội đầy đủ người đó được phân vào 3 ngày khác nhau và 3 khu vực khác nhau.

Tính xác suất để lịch bảo trì được lập là chuẩn kép.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KIỂM TRA GIỮA KÌ II NĂM HỌC 2025-2026

TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU MÔN: TOÁN 11

(Đề kiểm tra gồm có 03 trang + 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: . . . . . . . . . . . . . . . .

MÃ ĐỀ LẺ:

Phần I. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu học sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Một cửa hàng bán trà sữa thống kê số ly bán được trong 3 khung giờ đầu ngày như sau: từ 7h đến 8h bán được 20 ly, từ 8h đến 9h bán được 30 ly, từ 9h đến 10h bán được 15 ly. Tần số tích luỹ số ly trà sữa bán được tính đến hết khung giờ 8h đến 9h là

A. 20.

B. 30.

C. 50.

D. 65.

Câu 2. Khảo sát độ tuổi của khách xem một bộ phim, ta có 3 nhóm tuổi đứng cạnh nhau:

Nhóm tuổi

[10 ; 20)

[20 ; 30)

[30 ; 40)

Số người xem

130

200

170

Khi đó Mốt (độ tuổi phổ biến nhất của khách xem một bộ phim) là

A. 30 tuổi.

B. 27 tuổi.

C. 25 tuổi.

D. 20 tuổi.

Câu 3. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $P(A cup B) = P(A) + P(B)$.

B. $P(A cup B) = P(A) cdot P(B)$.

C. $P(Acap B)=P(A)+P(B)$.

D. $P(A cap B) = P(A) cdot P(B)$.

Câu 4. Một cầu thủ bóng rổ thực hiện ném phạt hai lần liên tiếp. Xác suất ném trúng quả đầu tiên là 0,6. Nếu ném trúng quả đầu tiên thì tâm lí thoải mái, xác suất ném trúng quả thứ hai tăng lên thành 0,8. Nếu ném trượt quả đầu tiên thì tâm lí căng thẳng, xác suất ném trúng quả thứ hai chỉ còn 0,4. Xác suất để cầu thủ đó ném trúng đúng một quả trong hai lần ném là

A. 0,48.

B. 0,32.

C. 0,28.

D. 0,16.

Câu 5. Rút gọn biểu thức $P = a^{dfrac{1}{3}} cdot sqrt[6]{a}$ (với $a > 0$) dưới dạng một lũy thừa, ta được

A. $a^{dfrac{1}{2}}$.

B. $a^{dfrac{1}{18}}$.

C. $a^{dfrac{2}{9}}$.

D. $a^2$.

Câu 6. Tập xác định của hàm số $y = (x – 2)^{-3}$ là

A. $[2,;+infty )$.

B. $(2,;+infty )$.

C. $mathbb{R}$.

D. $mathbb{R} setminus {2}$.

Câu 7. Tập xác định của hàm số $y = log_3(x – 1)$ là

A. $[1,;+infty )$.

B. $(1,;+infty )$.

C. $mathbb{R}$.

D. $mathbb{R} setminus {1}$.

Câu 8. Giá trị của biểu thức $P={{2}^{{{log }_{2}}3}}+{{log }_{3}}{{3}^{-4}}$ bằng

A. $-1$.

B. 1.

C. 2.

D. 5.

Câu 9. Đồ thị của hàm số $y = a^x$ (với $0 < a neq 1$) luôn đi qua điểm cố định nào trong các điểm sau đây?

A. (-1; ${a}$).

B. (1; 0).

C. (0; 1).

D. (0; 0).

Câu 10. Cho hình lập phương ${ABCD.A’B’C’D’}$. Số đo góc giữa hai đường thẳng ${AB}$ và ${A’C’}$ bằng

A. ${{30}^{0}}$.

B. ${{45}^{0}}$.

C. ${{60}^{0}}$.

D. ${{90}^{0}}$.

Câu 11. Cho hình chóp ${S.ABC}$ có $SA perp (ABC)$. Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng

A. ${{30}^{0}}$.

B. ${{45}^{0}}$.

C. ${{60}^{0}}$.

D. ${{90}^{0}}$.

Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng ${BC}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $(ABB’A’)$.

B. $(ACC’A’)$.

C. $(ADD’A’)$.

D. $(A’B’C’D’)$.

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 1 và câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Đánh giá thời gian giảm đau liên tục của một phác đồ trên bệnh nhân, kết quả thống kê như sau:

Thời gian (giờ)

[4 ; 6)

[6 ; 8)

[8 ; 10)

[10 ; 12)

Số bệnh nhân

5

20

50

25

Bệnh nhân có thời gian giảm đau dưới 6 giờ bị coi là không đáp ứng và cần đổi phác đồ. Để phục hồi thể trạng, bệnh nhân thuộc các nhóm [4 ; 6), [6 ; 8), [8 ; 10) và [10 ; 12) sẽ được nhận số đơn vị vi chất dinh dưỡng tương ứng với giá trị đại diện của nhóm đó (lần lượt là 5, 7, 9 và 11 đơn vị).

a) Thời gian giảm đau trung bình của mẫu là 9 giờ và nhóm chứa trung vị là [6 ; 8).

b) Chọn ngẫu nhiên 2 bệnh nhân từ 100 bệnh nhân trên. Xác suất để có ít nhất 1 người không đáp ứng phác đồ là 0,0975.

c) Chọn ngẫu nhiên độc lập 3 bệnh nhân, xác suất để có đúng 2 người ở nhóm [10 ; 12) và 1 người ở nhóm [8 ; 10) là 0,09375.

d) Chọn ngẫu nhiên độc lập 2 bệnh nhân, xác suất để tổng số đơn vị vi chất dinh dưỡng cần truyền cho 2 người này bằng đúng 18 đơn vị là 0,25.

Câu 2. Trong dự án STEAM, nhóm học sinh làm đế trình chiếu từ tấm nhựa PET trong suốt hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a$ và $AD=asqrt{3}$. Học sinh tạo nếp gấp theo đường chéo $BD$, đặt $(BCD)$ sát mặt bàn phẳng và nâng đỉnh $A$ lên. Vị trí được chốt cố định khi sợi dây dọi thả từ đỉnh $A$ chạm mặt bàn tại đúng điểm $H$ (biết $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BD$ trên tấm nhựa phẳng ban đầu). Do treo tự do, phương sợi dọi $AH$ vuông góc với mặt bàn $(BCD)$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ xuống $BC.$ Một màng phim phẳng được dán đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ để hứng ảnh nổi, và chỉ số chống lóa của thiết kế được đo bởi $k=cos widehat{AEH}$.

a) Hai đường thẳng $AH$ và $CD$ vuông góc với nhau.

b) Một chip Led gắn tại $M$ là trung điểm của nếp gấp $BD$. Khi đó $MA>MC$.

c) Mặt phẳng $left( AHE right)$ song song với mặt phẳng trung trực của $BC$.

d) Thiết kế đạt chuẩn khi $k>0,3$. Mô hình này đã đạt tiêu chuẩn.

Phần III. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1. Khảo sát mức tiêu thụ điện năng trong một tháng của 900 cửa hàng như sau:

Tiêu thụ điện (kWh)

[1000 ; 1100)

[1100 ; 1200)

[1200 ; 1300)

[1300 ; 1400)

Số cửa hàng

210

230

250

210

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu kWh?

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức $P={{log }_{2}}left( 4sqrt{2} right)+{{9}^{{{log }_{3}}5}}$.

Câu 3. Trong phòng thí nghiệm có nhiệt độ coi như không đổi ở mức ${{20}^{0}}C$, một mẫu ở ${{80}^{0}}C$ được làm mát bằng khối nhôm tản nhiệt có quạt. Thực nghiệm cho thấy: độ chênh lệch nhiệt độ giữa mẫu và môi trường suy giảm theo hàm mũ, tức là sau mỗi phút độ chênh này được nhân với một hệ số $q$ ($0 < q < 1$). Sau 11 phút, đo được nhiệt độ mẫu là ${{46}^{0}}C$. Kể từ lúc bắt đầu làm lạnh, cần bao nhiêu phút để nhiệt độ mẫu giảm xuống ${{40}^{0}}C$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 4. Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật ${ABCD}$ có $AB=1text{ m},,,AD=2text{ m}$. Đặt mép ${AB}$ tựa trên mặt phẳng nằm ngang $(R)$ của mái nhà sao cho góc giữa đường thẳng ${AD}$ và hình chiếu vuông góc của nó trên $(R)$ bằng ${{30}^{0}}$. Mặt sau tấm pin có một thanh kim loại nẹp theo đường chéo ${AC}$. Gọi ${C’}$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $(R)$; $alpha $ là góc giữa hai đường thẳng ${AC}$ và ${AC’}$. Từ một điểm trên đoạn thẳng ${AC’}$ cách $A$ một khoảng $2tan alpha $(mét), người ta dựng một cột đỡ thẳng đứng lên chạm vào thanh kim loại ${AC}$. Tính chiều cao của cột đỡ (bỏ qua bề dày vật liệu).

Phần IV (3,0 điểm). Tự luận học sinh giải câu 1 đến câu 3.

Câu 1 (1,0 điểm). Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử tiến hành kiểm tra thời gian hoạt động liên tục (đơn vị: nghìn giờ) của một mẫu 100 linh kiện được chọn ngẫu nhiên. Kết quả như bảng sau:

Thời gian (nghìn giờ)

[4 ; 6)

[6 ; 8)

[8 ; 10)

[10 ; 12)

Số linh kiện

5

30

45

20

Các linh kiện có thời gian hoạt động dưới 6 nghìn giờ không đạt chuẩn và bị coi là phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 1 linh kiện trong mẫu, tính xác suất để linh kiện được chọn không bị coi là phế phẩm?

Câu 2 (1,0 điểm).

1) Cho hai số thực dương ${a}$, ${b}$ thỏa mãn ${{a}^{2}}b=e$. Tính giá trị của biểu thức $P=2ln a+ln b$.

2) Cho hai số thực dương ${a}$, ${b}$ với $ane 1,,,bne 1$ và $log_a b = dfrac{1}{6}$. Tính giá trị biểu thức:

$H={{log }_{a}}left( sqrt[3]{b} right)cdot {{log }_{sqrt[3]{b}}}left( {{a}^{2}} right)+{{log }_{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}}left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} right)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$, có $SA,,bot ,,(ABC)$ và $Delta ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm đoạn thẳng $BC$. Chứng minh hai đường thẳng $SH$ và $BC$ vuông góc.

_ _ _ _ _ _ Hết _ _ _ _ _ _

MÃ ĐỀ CHẴN:

Phần I. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu học sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Rút gọn biểu thức $Q={{a}^{dfrac{1}{4}}}cdot sqrt[6]{a}$ (với $a > 0$) dưới dạng một lũy thừa, ta được

A. ${{a}^{dfrac{5}{12}}}$.

B. ${{a}^{dfrac{1}{12}}}$.

C. ${{a}^{dfrac{23}{4}}}$.

D. ${{a}^{dfrac{25}{4}}}$.

Câu 2. Tập xác định của hàm số $y={{(x+2)}^{-3}}$ là

A. $[-2,;+infty )$.

B. $(-2,;+infty )$.

C. $mathbb{R}$.

D. $mathbb{R}setminus {-2}$.

Câu 3. Cho hình lập phương ${ABCD.A’B’C’D’}$. Số đo góc giữa hai đường thẳng ${AB}$ và ${B’D’}$ bằng

A. ${{30}^{0}}$.

B. ${{45}^{0}}$.

C. ${{60}^{0}}$.

D. ${{90}^{0}}$.

Câu 4. Một cửa hàng bán trà sữa thống kê số ly bán được trong 3 khung giờ đầu ngày như sau: từ 7h đến 8h bán được 15 ly, từ 8h đến 9h bán được 35 ly, từ 9h đến 10h bán được 45 ly. Tần số tích luỹ số ly trà sữa bán được tính đến hết khung giờ 8h đến 9h là

A. 15.

B. 35.

C. 50.

D. 95.

Câu 5. Đồ thị của hàm số $y={{log }_{a}}x$ (với $0 < a neq 1$) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A. (${a}$; -1).

B. (1; ${a}$).

C. (1; 0).

D. (0; 0).

Câu 6. Khảo sát độ tuổi của khách xem một bộ phim, ta có 3 nhóm tuổi đứng cạnh nhau:

Nhóm tuổi

[10 ; 20)

[20 ; 30)

[30 ; 40)

Số người xem

150

250

150

Khi đó Mốt (độ tuổi phổ biến nhất của khách xem một bộ phim) là

A. 20 tuổi.

B. 25 tuổi.

C. 27 tuổi.

D. 30 tuổi.

Câu 7. Giá trị của biểu thức $P={{3}^{{{log }_{3}}2}}+{{log }_{4}}{{4}^{-3}}$ bằng

A. $-1$.

B. 1.

C. 2.

D. 5.

Câu 8. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $P(A cap B) = P(A) cdot P(B)$.

B. $P(A cup B) = P(A) cdot P(B)$.

C. $P(Acap B)=P(A)+P(B)$.

D. $P(A cup B) = P(A) + P(B)$.

Câu 9. Cho hình chóp ${S.ABC}$ có $SA perp (ABC)$. Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $AC$ bằng

A. ${{30}^{0}}$.

B. ${{45}^{0}}$.

C. ${{60}^{0}}$.

D. ${{90}^{0}}$.

Câu 10. Một cầu thủ bóng rổ thực hiện ném phạt hai lần liên tiếp. Xác suất ném trúng quả đầu tiên là 0,7. Nếu ném trúng quả đầu tiên thì tâm lí thoải mái, xác suất ném trúng quả thứ hai tăng lên thành 0,9. Nếu ném trượt quả đầu tiên thì tâm lí căng thẳng, xác suất ném trúng quả thứ hai chỉ còn 0,6. Xác suất để cầu thủ đó ném trúng đúng một quả trong hai lần ném là

A. 0,34.

B. 0,28.

C. 0,25.

D. 0,88.

Câu 11. Tập xác định của hàm số $y={{log }_{3}}(1-x)$ là

A. $(-infty ,;,,1text{ }!!]!!text{ }$.

B. $(-infty ,;,,1)$.

C. $mathbb{R}$.

D. $mathbb{R} setminus {1}$.

Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng ${BC}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $(CDD’C’)$.

B. $(ACC’A’)$.

C. $(ADD’A’)$.

D. $(A’B’C’D’)$.

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 1 và câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Trong dự án STEAM, nhóm học sinh làm đế trình chiếu từ tấm nhựa PET trong suốt hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a$ và $AD=asqrt{3}$. Học sinh tạo nếp gấp theo đường chéo $BD$, đặt $(BCD)$ sát mặt bàn phẳng và nâng đỉnh $A$ lên. Vị trí được chốt cố định khi sợi dây dọi thả từ đỉnh $A$ chạm mặt bàn tại đúng điểm $H$ (biết $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BD$ trên tấm nhựa phẳng ban đầu). Do treo tự do, phương sợi dọi $AH$ vuông góc với mặt bàn $(BCD)$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ xuống $BC.$ Một màng phim phẳng được dán đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ để hứng ảnh nổi, và chỉ số chống lóa của thiết kế được đo bởi $k=cos widehat{AEH}$.

a) Hai đường thẳng $AH$ và $CD$ vuông góc với nhau.

b) Một chip Led gắn tại $M$ là trung điểm của nếp gấp $BD$. Khi đó $MA>MC$.

c) Mặt phẳng $left( AHE right)$ song song với mặt phẳng trung trực của $BC$.

d) Thiết kế đạt chuẩn khi $k>0,3$. Mô hình này đã đạt tiêu chuẩn.

Câu 2. Đánh giá thời gian giảm đau liên tục của một phác đồ trên bệnh nhân, kết quả thống kê như sau:

Thời gian (giờ)

[4 ; 6)

[6 ; 8)

[8 ; 10)

[10 ; 12)

Số bệnh nhân

5

20

50

25

Bệnh nhân có thời gian giảm đau dưới 6 giờ bị coi là không đáp ứng và cần đổi phác đồ. Để phục hồi thể trạng, bệnh nhân thuộc các nhóm [4 ; 6), [6 ; 8), [8 ; 10) và [10 ; 12) sẽ được nhận số đơn vị vi chất dinh dưỡng tương ứng với giá trị đại diện của nhóm đó (lần lượt là 5, 7, 9 và 11 đơn vị).

a) Thời gian giảm đau trung bình của mẫu là 9 giờ và nhóm chứa trung vị là [6 ; 8).

b) Chọn ngẫu nhiên 2 bệnh nhân từ 100 bệnh nhân trên. Xác suất để có ít nhất 1 người không đáp ứng phác đồ là 0,0975.

c) Chọn ngẫu nhiên độc lập 3 bệnh nhân, xác suất để có đúng 2 người ở nhóm [10 ; 12) và 1 người ở nhóm [8 ; 10) là 0,09375.

d) Chọn ngẫu nhiên độc lập 2 bệnh nhân, xác suất để tổng số đơn vị vi chất dinh dưỡng cần truyền cho 2 người này bằng đúng 18 đơn vị là 0,25.

Phần III. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức $P={{log }_{2}}left( 4sqrt{2} right)+{{9}^{{{log }_{3}}5}}$.

Câu 2. Khảo sát mức tiêu thụ điện năng trong một tháng của 900 cửa hàng như sau:

Tiêu thụ điện (kWh)

[1000 ; 1100)

[1100 ; 1200)

[1200 ; 1300)

[1300 ; 1400)

Số cửa hàng

210

230

250

210

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu kWh?

Câu 3. Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật ${ABCD}$ có $AB=1text{ m},,,AD=2text{ m}$. Đặt mép ${AB}$ tựa trên mặt phẳng nằm ngang $(R)$ của mái nhà sao cho góc giữa đường thẳng ${AD}$ và hình chiếu vuông góc của nó trên $(R)$ bằng ${{30}^{0}}$. Mặt sau tấm pin có một thanh kim loại nẹp theo đường chéo ${AC}$. Gọi ${C’}$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $(R)$; $alpha $ là góc giữa hai đường thẳng ${AC}$ và ${AC’}$. Từ một điểm trên đoạn thẳng ${AC’}$ cách $A$ một khoảng $2tan alpha $(mét), người ta dựng một cột đỡ thẳng đứng lên chạm vào thanh kim loại ${AC}$. Tính chiều cao của cột đỡ (bỏ qua bề dày vật liệu).

Câu 4. Trong phòng thí nghiệm có nhiệt độ coi như không đổi ở mức ${{20}^{0}}C$, một mẫu ở ${{80}^{0}}C$ được làm mát bằng khối nhôm tản nhiệt có quạt. Thực nghiệm cho thấy: độ chênh lệch nhiệt độ giữa mẫu và môi trường suy giảm theo hàm mũ, tức là sau mỗi phút độ chênh này được nhân với một hệ số $q$ ($0 < q < 1$). Sau 11 phút, đo được nhiệt độ mẫu là ${{46}^{0}}C$. Kể từ lúc bắt đầu làm lạnh, cần bao nhiêu phút để nhiệt độ mẫu giảm xuống ${{40}^{0}}C$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Phần IV (3,0 điểm). Tự luận học sinh giải câu 1 đến câu 3.

Câu 1 (1,0 điểm).

1) Cho hai số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $x{{y}^{2}}=e$. Tính giá trị của biểu thức $Q=ln x+2ln y$.

2) Cho hai số thực dương $x$, $y$ với $xne 1,,,yne 1$ và ${{log }_{x}}y=dfrac{1}{3}$. Tính giá trị biểu thức:

$H={{log }_{x}}left( sqrt{y} right)cdot {{log }_{sqrt{y}}}left( {{x}^{2}} right)+{{log }_{{{x}^{2}}{{y}^{6}}}}left( {{x}^{2}}{{y}^{3}} right)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$, có $SB,,bot ,,(ABC)$ và $Delta ABC$ cân tại $B$. Gọi $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AC$. Chứng minh hai đường thẳng $SH$ và $AC$ vuông góc.

Câu 3 (1,0 điểm). Một công ty kiểm tra thời lượng sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) của một mẫu gồm 80 viên pin dự phòng được chọn ngẫu nhiên. Kết quả thống kê như sau:

Thời gian (giờ)

[10 ; 15)

[15 ; 20)

[20 ; 25)

[25 ; 30)

Số viên pin

4

26

35

15

Các viên pin có thời lượng sử dụng dưới 15 giờ bị đánh giá là không đạt chuẩn (lỗi). Chọn ngẫu nhiên 1 viên pin trong mẫu, tính xác suất để viên pin được chọn là sản phẩm đạt chuẩn?

_ _ _ _ _ _ Hết _ _ _ _ _

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM KTGK2 TOÁN 11 NĂM HỌC 2025-2026. TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU

MÃ ĐỀ 1101 và 1103

Phần I (3,0 điểm).

1C

2B

3D

4C

5A

6D

7B

8A

9C

10B

11D

12A

Phần II (2,0 điểm).

Câu 1. S S Đ S

Câu 2. Đ S Đ S

Phần III (2,0 điểm).

Câu 1. 1204

Câu 2. 27,5

Câu 3. 14,5

Câu 4. 0,5

Phần IV (3,0 điểm).

Câu

Yêu cầu

Điểm

1

Chọn ngẫu nhiên 1 linh kiện từ tổng số 100 linh kiện $Rightarrow n(Omega) = C_{100}^1 = 100$.

0,25

1,0đ

Số linh kiện đạt chuẩn (không là phế phẩm) là 95 linh kiện $Rightarrow n(A) = 95$.

0,25

Xác suất linh kiện được chọn không bị coi là phế phẩm $P(A) = dfrac{n(A)}{n(Omega)} = dfrac{95}{100} = 0,95$.

0,5

2

1) $P=ln {{a}^{2}}+ln b=ln left( {{a}^{2}}b right)$.

0,25

1,0đ

Thay giả thiết ${{a}^{2}}b=e$ vào $P$ và tính ra $P=1$.

0,25

2) ${{log }_{a}}left( sqrt[3]{b} right)cdot {{log }_{sqrt[3]{b}}}left( {{a}^{2}} right)={{log }_{a}}left( {{a}^{2}} right)=2$ và ${{log }_{{{a}^{3}}{{b}^{2}}}}({{a}^{2}}{{b}^{3}})=dfrac{{{log }_{a}}({{a}^{2}}{{b}^{3}})}{{{log }_{a}}({{a}^{3}}{{b}^{2}})}=…dfrac{2+3{{log }_{a}}b}{3+2{{log }_{a}}b}$.

0,25

Thay giả thiết $log_a b = dfrac{1}{6}$ vào biểu thức, ta tính được $H=dfrac{11}{4}$.

0,25

3

$Delta ABC$ cân tại $A$, $H$ là trung điểm đoạn thẳng $BC$ $Rightarrow AHbot BC$.

0,25

1,0đ

$SA,,bot ,,(ABC)$, $BC subset (ABC)$ $Rightarrow SAbot BC$.

0,25

Hai đường thẳng $AH$và $SA$ cắt nhau và cùng nằm trên mp$(SAH)$ $Rightarrow BC perp (SAH)$.

0,25

$SH subset (SAH)$ và $BCbot (SAH)$, ta suy ra $BC perp SH$ (điều phải chứng minh).

0,25

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM KTGK2 TOÁN 11 NĂM HỌC 2025-2026. TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU

MÃ ĐỀ 1102 và 1104

Phần I (3,0 điểm).

1A

2D

3B

4C

5C

6B

7A

8D

9D

10C

11B

12A

Phần II (2,0 điểm).

Câu 1. Đ S Đ S

Câu 2. S S Đ S

Phần III (2,0 điểm).

Câu 1. 27,5

Câu 2. 1204

Câu 3. 0,5

Câu 4. 14,5

Phần IV (3,0 điểm).

Câu

Yêu cầu

Điểm

1

1) $Q=ln x+2ln y=ln left( x{{y}^{2}} right)$.

0,25

1,0đ

Thay giả thiết $x{{y}^{2}}=e$ vào $Q$ và tính ra $Q=1$.

0,25

2) ${{log }_{x}}left( sqrt{y} right)cdot {{log }_{sqrt{y}}}left( {{x}^{2}} right)={{log }_{x}}left( {{x}^{2}} right)=2$ và ${{log }_{{{x}^{2}}{{y}^{6}}}}left( {{x}^{2}}{{y}^{3}} right)=dfrac{{{log }_{x}}({{x}^{2}}{{y}^{3}})}{{{log }_{x}}({{x}^{2}}{{y}^{6}})}=…dfrac{2+3{{log }_{x}}y}{2+6{{log }_{x}}y}$.

0,25

Thay giả thiết ${{log }_{x}}y=dfrac{1}{3}$ vào biểu thức, ta tính được $H=dfrac{11}{4}$.

0,25

2

$Delta ABC$ cân tại $B$, $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AC$ $Rightarrow BHbot AC$.

0,25

1,0đ

$SB,,bot ,,(ABC)$, $ACsubset (ABC)$ $Rightarrow SBbot AC$.

0,25

Hai đường thẳng $BH$và $SB$ cắt nhau và cùng nằm trên mp$(SBH)$ $Rightarrow ACbot (SBH)$.

0,25

$SHsubset (SBH)$ và $ACbot (SBH)$, ta suy ra $ACbot SH$ (điều phải chứng minh).

0,25

3

Chọn ngẫu nhiên 1 viên pin từ tổng số 80 viên pin $Rightarrow n(Omega )=C_{80}^{1}=80$.

0,25

1,0đ

Số viên pin được chọn là sản phẩm đạt chuẩn là 76 viên pin $Rightarrow n(A)=76$.

0,25

Xác suất để chọn được viên pin đạt chuẩn là $P(A)=dfrac{n(A)}{n(Omega )}=dfrac{76}{80}=0,95$.

0,5

MA TRẬN ĐỀ KTGK2 MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2025 – 2026

Toán 11 sách Cánh Diều: Cả chương V, 3 bài đầu chương VI và 2 bài đầu chương VIII.

Dạng thức. Câu

Chủ đề, nội dung môn học

(Câu tương tự đề cương)

Năng lực toán học

Tư duy và lập luận toán học (TD)

Giải quyết vấn đề toán học (GQ)

Mô hình hóa toán học (MH)

Cấp độ tư duy

Cấp độ tư duy

Cấp độ tư duy

Biết

Hiểu

VD

Biết

Hiểu

VD

Biết

Hiểu

VD

I. 1

Tần số tích lũy (c3)

*

I. 2

Mốt của MSL ghép nhóm (c5)

*

I. 3

Bc hợp giao xung khắc độc lập (c7)

*

I. 4

Xác suất của biến cố (c15)

*

I. 5

Viết số lũy thừa (c17)

*

I. 6

Tìm đk biểu thức lt có nghĩa

*

I. 7

Tập xác định hs lôgarit (c25)

*

I. 8

Tính giá trị có lôgarit (c28)

*

I. 9

Hàm số mũ và lôgarit (c32)

*

I. 10

Góc giữa hai đường thẳng (c33)

*

I. 11

Góc giữa đt và đt (c40, 41)

*

I. 12

Đường thẳng vg mặt phẳng (c47)

*

TK

TNKQ 4 lựa chọn: 3 điểm

10

2

0

0

0

0

0

0

0

II. 1a

Số trung bình, trung vị (c53a, c)

*

II. 1b

Công thức tính xác suất (c53b)

*

II. 1c

Xác suất tổng hợp (c53c)

*

II. 1d

Xác suất tổng hợp (c53d)

*

II. 2a

Hai đường thẳng vg (c61a)

*

II. 2b

Đường thẳng vg mặt phẳng (c61b)

*

II. 2c

Góc giữa đt và đt (c61c)

*

II. 2d

Tính độ dài đoạn thẳng (c86, 87)

*

TK

Trắc nghiệm Đúng/Sai: 2 điểm

0

0

0

2

1

1

2

2

0

III. 1

Tứ phân vị Q2 (trung vị) (c65)

*

III. 2

Tính giá trị của biểu thức (c73)

*

III. 3

Tổng hợp mũ và lôga (c75)

*

III. 4

Tổng hợp hình học (c85)

*

TK

Trắc nghiệm trả lời ngắn: 2 điểm

1

0

0

1

0

0

0

0

2

IV. 1

Thống kê, xác suất (1,0đ)

*

IV. 2a

Lũy thừa, lôgarit (0,5đ)

*

IV. 2b

Hàm số mũ, hàm số lôgarit (0,5đ)

*

IV. 3

Hai đt vg và đt vg mp (1,0đ)

*

TK

Tự luận 3 câu: 3 điểm

2

1

0

1

0

0

0

0

0

TK

TD: 5,5đ. GQ: 2,5đ. MH: 2,0đ

13

3

0

4

1

1

2

2

2

Trung tâm phát triển năng lực bồi dưỡng kiến thức văn hoá Ánh Dương, 38A ngõ 4 đường Lý Sơn, phường Việt Hưng, TP Hà Nội. ĐT 034 76 77777

Ấn đây tải xuống File này

Ấn đây tải toàn bộ nội dung Word này

Thầy cô, Học sinh tải về nếu hỏi mật khẩu thì nhập một trong các mk sau để mở file (NÊN copy và chú ý không dấu cách và không thừa khoảng trắng hay kí tự bất kì): hs.edu.vn https://hs.edu.vn/ https://edu365.edu.vn/ https://edu365.edu.vn edu365.edu.vn edu365free freeedu365 edu365.edu.vnfree

edu365 hoc moi luc moi noi

(Nếu file quá nhiều lượt tải về trong ngày, xin bấm vào đây xem hướng dẫn để tải ngay)

Chúng tôi luôn mong nhận được sự đồng hành, góp ý và chia sẻ của thầy cô giáo và học sinh.

Xin gửi về địa chỉ:

Nhà giáo: Nguyễn Quốc Hoàn

Mobi, Zalo: 0913 661 886

Tel: 025 99 999 888 , 024 666 07 999 , 028 99 99 99 77

Giờ làm việc: 08h11 – 18h36 hàng ngày; trừ các ngày lễ và ngày thứ bẩy, chủ nhật.