Cách 1: Dùng phương pháp hình học ( to ) Kỹ năng dồn số phức.
* (P = left| {z + i,overline {rm{w}} – 6 – 8i} right| = left| {left( {z – 6 – 8i} right) – left( { – ioverline w } right)} right| = left| {u – v} right|).
Trong đó: (left{ begin{array}{l}u = z – 6 – 8iv = – ioverline w end{array} right.), (u) có điểm biểu diễn là (A), (v) có điểm biểu diễn là (B).
( Rightarrow P = left| {u – v} right| = AB Rightarrow ) Cần đạt Min.
* (left| z right| = 1 Leftrightarrow left| {left( {z – 6 – 8i} right) + 6 + 8i} right| = 1 Leftrightarrow left| {u + 6 + 8i} right| = 1).
( Rightarrow ) Tập hợp điểm (A) biểu diễn số phức (u) là đường tròn: (left( {{C_1}} right)): (left{ begin{array}{l}Ileft( { – 6; – 8} right){R_1} = 1end{array} right.).
* (left| w right| = 2 Leftrightarrow left| {overline w } right| = 2 Leftrightarrow left| { – i} right|.left| {overline w } right| = left| { – i} right|.2) ( Rightarrow left| { – ioverline w } right| = 2 Leftrightarrow left| v right| = 2).
( Rightarrow ) Tập hợp điểm (B) biểu diễn số phức (v) là đường tròn (left( {{C_2}} right):,,left{ begin{array}{l}Oleft( {0;0} right){R_2} = 2end{array} right.).
Có (left{ begin{array}{l}IA = {R_1} = 1OB = {R_2} = 2OI = 10end{array} right.)
( Rightarrow A{B_{min }} = IO – {R_1} – {R_2} = 10 – 1 – 2 = 7).
Min đạt được khi: (left{ begin{array}{l}overrightarrow {OA} = dfrac{9}{{10}}overrightarrow {OI} Rightarrow Aleft( {dfrac{{ – 27}}{5};dfrac{{ – 36}}{5}} right) Rightarrow u = – dfrac{{27}}{5} – dfrac{{36}}{5}ioverrightarrow {OB} = dfrac{1}{5}overrightarrow {OI} Rightarrow Bleft( {dfrac{{ – 6}}{5};dfrac{{ – 8}}{5}} right) Rightarrow v = – dfrac{6}{5} – dfrac{8}{5}iend{array} right.).
( Rightarrow left{ begin{array}{l}z = u + 6 + 8i = dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}i – ioverline w = v Rightarrow overline w = dfrac{v}{{ – i}} = dfrac{{ – dfrac{6}{5} – dfrac{8}{5}i}}{{ – i}} = dfrac{8}{5} – dfrac{6}{5}i Rightarrow w = dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}iend{array} right.)
( Rightarrow left| {z – w} right| = left| {left( {dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}i} right) – left( {dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}i} right)} right| = dfrac{{sqrt {29} }}{5}).
Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ
Ta có BĐT cho 3 vectơ (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ,,,overrightarrow c ) thì (left| {overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c } right| ge left| {overrightarrow a } right| – left| {overrightarrow b } right| – left| {overrightarrow c } right|).
Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left| {overrightarrow a } right| ge left| {overrightarrow b } right| + left| {overrightarrow c } right|overrightarrow a = koverrightarrow b overrightarrow a = moverrightarrow c end{array} right.,,left( {k;m < 0} right)).
* Đặt (P = left| {z + i,overline {rm{w}} – 6 – 8i} right| = left| {underbrace {left( { – 6 – 8i} right)}_{ = overrightarrow a } + underbrace z_{ = overrightarrow b } + underbrace {ioverline w }_{ = overrightarrow c }} right|)
Đặt (left{ begin{array}{l}left( { – 6 – 8i} right) Leftrightarrow overrightarrow a left( { – 6; – 8} right) Rightarrow left| {overrightarrow a } right| = 10z Leftrightarrow overrightarrow b Rightarrow left| {overrightarrow b } right| = 1ioverline w Leftrightarrow overrightarrow c Rightarrow left| {overrightarrow c } right| = left| {ioverline w } right| = left| w right| = 2end{array} right.).
( Rightarrow P = left| {overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c } right| ge left| {overrightarrow a } right| – left| {overrightarrow b } right| – left| {overrightarrow c } right| = 10 – 1 – 2 = 7).
( Rightarrow {P_{min }} = 7), đạt Min khi (left{ begin{array}{l}left| {overrightarrow a } right| ge left| {overrightarrow b } right| + left| {overrightarrow c } right|,,left( {dung,,do,,10 > 1 + 2} right)overrightarrow a = – 10overrightarrow b Leftrightarrow overrightarrow b = – dfrac{1}{{10}}overrightarrow a = left( {dfrac{3}{5};dfrac{4}{5}} right)overrightarrow a = – 5overrightarrow c Leftrightarrow overrightarrow c = – dfrac{1}{5}overrightarrow a = left( {dfrac{6}{5};dfrac{8}{5}} right)end{array} right.) ( Rightarrow left{ begin{array}{l}z = dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}iioverline w = dfrac{6}{5} + dfrac{8}{5}i Leftrightarrow w = dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}iend{array} right.)
( Rightarrow left| {z – w} right| = left| {left( {dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}i} right) – left( {dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}i} right)} right| = dfrac{{sqrt {29} }}{5}).
