Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng và thường gây khó khăn cho học sinh trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là ở các bài toán vận dụng và vận dụng cao. Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp các bài tập nguyên hàm hay và khó, được chọn lọc kỹ lưỡng từ đề thi thử, đề thi THPT Quốc gia và các tài liệu nâng cao. Mỗi bài toán đều giúp rèn luyện tư duy biến đổi linh hoạt, nắm vững phương pháp giải và nâng cao kỹ năng xử lý các dạng nguyên hàm phức tạp, phù hợp cho học sinh khá-giỏi đang ôn thi hiệu quả.
Câu 1. (Chuyên KHTN Hà Nội Lần 2) Cho hàm số $fleft( x right)=-1+2x+3{{x}^{2}}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành có giá trị bằng
A. $-frac{16}{27}$.
B. $frac{16}{27}$.
C. $-frac{32}{27}$.
D. $frac{32}{27}$.
Lời Giải
Chọn D
Ta có $fleft( x right) = 0$ $ Leftrightarrow – 1 + 2x + 3{x^2} = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{1}{3} x = – 1. end{array} right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành có giá trị bằng
$intlimits_{-1}^{frac{1}{3}}{left| -1+2x+3{{x}^{2}} right|text{d}x}=frac{32}{27}$.
Câu 2. (Chuyên KHTN Hà Nội Lần 2) Cho $intlimits_{1}^{2}{f(x)dx=-3}$ và$intlimits_{1}^{2}{g(x)dx=4}$. Giá trị tích phân $intlimits_{1}^{2}{(g(x)+2f(x))dx}$ bằng
A. -2
B. 2
C. 1
D. 5
Lời Giải
Chọn A
$intlimits_1^2 {(g(x) + 2f(x))dx} $ $ = intlimits_1^2 {g(x)dx} + 2.intlimits_1^2 {f(x)dx} $ $ = 4 + 2.( – 3) = – 2$
Câu 3. (Chuyên KHTN Hà Nội Lần 2) Trên đường quốc lộ, một ô tô đang di chuyển với vận tốc $45,km/h$. Cùng lúc, một đoàn tàu chạy song song với đường quốc lộ với vận tốc $60,km/h$. Khi ô tô cách đuôi tàu $100,m$thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc $v(t)=2,5t+b,(m/s)$, với $t$ là thời gian kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc. Khi đạt đến tốc độ tối đa cho phép $90,km/h$ thì ô tô giữ nguyên vận tốc.
a) Giá trị của $b$bằng $12,5$.
b) Thời gian ô tô đạt vận tốc tối đa cho phép là $5,s$.
c) Khoảng cách giữa ô tô và đuôi tàu sau $3,s$ là $51,25,m$.
d) Thời gian ô tô bắt kịp đuôi tàu kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc là $15,75,s$.
Lời Giải
(a) Đúng | (b) Đúng| (c) Sai | (d) Đúng
a)
Tại thời điểm ô tô bắt đầu tăng tốc, tức $t=0$. Ô tô đang di chuyển với vận tốc $45,km/h=12,5,m/s$ nên: $v(0)=2,5.0+b,=12,5Rightarrow b=12,5$.
Chọn ĐÚNG.
b)
Tốc độ tối đa cho phép của ô tô là $90,km/h=,25,m/s$. Ta có $v(t)=2,5t+12,5,=25Rightarrow t=5,(s)$
Vậy sau $5,s$ kể từ lúc tăng tốc, ô tô đạt vận tốc tối đa cho phép.
Chọn ĐÚNG.
c) Sau $3,s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc, quãng đường ô tô đã đi được là: $intlimits_{0}^{3}{v(t)dt=}intlimits_{0}^{3}{(2,5t+12,5)dt=}48,75,(m)$
Trong $3,s$ quãng đường tàu đã đi được là: $frac{50}{3}.3=50,m$
Do vậy khoảng cách giữa đuôi tàu và ô tô là: $100-48,75+50=101,25,m$.
Chọn SAI.
d)
Quãng đường ô tô đi được từ lúc tăng tốc đến khi vận tốc ô tô đạt mức tối đa là: $intlimits_{0}^{5}{v(t)dt=}intlimits_{0}^{5}{(2,5t+12,5)dt=}93,75,(m)$
Do vậy khoảng cách giữa đuôi tàu và ô tô là: $100-93.75+frac{50}{3}.5=frac{1075}{12},m$.
Vì vậy trong $5,s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc đến khi đạt vận tốc tối đa, ô tô vẫn chưa đuổi kịp đuôi tàu.
Gọi $x,(s)$ là thời gian ô tô đuổi kịp đuôi tàu (không tính $5,s$ đầu tiên kể từ lúc xe bắt đầu tăng tốc). Để ô tô đuổi kịp đuôi tàu thì: Hiệu giữa Quãng đường ô tô đi được và quãng đường tàu hoả đi được bằng $100,m$, nên ta có: $93,75 + 25.x – frac{{50}}{3}(x + 5) = 100$ $ Rightarrow x = 10,75,(s)$
Do đó để đuổi kịp đuôi tàu, thời gian ô tô đã đi kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: $10,75+5=15,75,,(s)$
Chọn ĐÚNG.
Câu 4. (Chuyên KHTN Hà Nội Lần 2) Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ, biết OS = 8m, AB = 6m với O là trung điểm của AB. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá 100 000 đồng/m², phần giữa là hình quạt tâm O bán kính 3m được tô đậm giá 200 000 đồng/m², phần còn lại giá 150 000 đồng/m². Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời Giải
Đáp án: 4,44
Lắp hệ trục $Oxy$ với tia $Ox$ trùng với tia $OB$, tia $Oy$ trùng với tia $OS$ như hình vẽ.
Khi đó ta có: $Aleft( -3;0 right),,Bleft( 3;0 right),,Sleft( 0;8 right)$.
Suy ra parabol có phương trình là: $y=-frac{8}{9}{{x}^{2}}+8$ $left( P right)$.
Rìa của hình quạt là cung tròn của đường tròn $left( C right)$ có phương trình:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9Leftrightarrow y=pm sqrt{9-{{x}^{2}}}$.
Hoành độ điểm $D$ là nghiệm phương trình: $ – frac{8}{9}{x^2} + 8 = sqrt {9 – {x^2}} ,$ $,0 < x < 3$ $ Leftrightarrow x = frac{{3sqrt {55} }}{8}$.
Ta có: ${{y}_{D}}=-frac{8}{9}{{x}_{D}}^{2}+8=frac{9}{8}$. Suy ra: $Dleft( frac{3sqrt{55}}{8};frac{9}{8} right)$.
Phương trình $OD$: $y=frac{3}{sqrt{55}}.x$.
Vì tấm pano đối xứng qua trục $Oy$ nên ta có:
Diện tích phần kẻ sọc: ${{S}_{1}}=2.intlimits_{0}^{frac{3sqrt{55}}{8}}{left( -frac{8}{9}{{x}^{2}}+8-sqrt{9-{{x}^{2}}} right)text{d}x}approx 17,94$m2.
Diện tích phần tô đậm: ${{S}_{2}}=2.intlimits_{0}^{frac{3sqrt{55}}{8}}{left( sqrt{9-{{x}^{2}}}-frac{3}{sqrt{55}}.x right)}text{d}xapprox 10,68$m2.
Diện tích phần còn lại: $S=intlimits_{-3}^{3}{left( -frac{8}{9}{{x}^{2}}+8 right)dx}-left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} right)approx 3,38$m2.
Tổng chi phí để trang trí tấm pano là:
$100{{S}_{1}}+200{{S}_{2}}+150Sapprox 4,440$ nghìn đồng $approx 4,44$ triệu đồng.
Câu 5. (Chuyên Vinh Nghệ An lần 1) Nguyên hàm của hàm số $f(x)=x-sin x$ là
A. $frac{x^2}{2}+cos x+C$. B. $x^2-cos x+C$. C. $frac{x^2}{2}-cos x+C$. D. $2 x^2+cos x+C$.
Lời Giải
$int{fleft( x right)text{d}x}=int{left( x-sin x right)text{d}x}=frac{{{x}^{2}}}{2}+cos x+C$.
Câu 6. (Chuyên Vinh Nghệ An lần 1) Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cây lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao $20$ cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $vleft( t right)=-0,1{{t}^{3}}+1,1{{t}^{2}}$, trong đó $t$ tính theo tuần, $vleft( t right)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $hleft( t right)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ $left( tge 0 right)$.
a) $hleft( t right)=-frac{1}{40}{{t}^{4}}+frac{11}{30}{{t}^{3}}+20$.
b) Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài $12$ tuần.
c) Chiều cao tối đa của cây lúa là $150$ cm.
d) Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn $80$ cm.
Lời Giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.
a) Đúng
$hleft( t right) = int {vleft( t right)dt} $ $ = int {left( { – 0,1{t^3} + 1,1{t^2}} right)dt} $ $ = – frac{1}{{40}}{t^4} + frac{{11}}{{30}}{t^3} + C$
Ta có $hleft( 0 right)=20$.
Suy ra $C=20$.
Do đó $hleft( t right)=-frac{1}{40}{{t}^{4}}+frac{11}{30}{{t}^{3}}+20$.
b) Sai
Cây tăng trưởng khi $v(t)>0$. Xét bất phương trình $-0,1{{t}^{3}}+1,1{{t}^{2}}>0$.
$Leftrightarrow {{t}^{2}}left( -0,1t+1,1 right)>0$.
Suy ra $-0,1t+1,1>0$ nên $t<11$.
Vậy giai đoạn tăng trưởng của cây kéo dài 11 tuần.
c) Sai
Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của $h(t)=frac{-{{t}^{4}}}{40}+frac{11{{t}^{3}}}{30}+5$ với $tin [0;11]$.
Ta có: ${h}'(t)=frac{-{{t}^{3}}}{10}+frac{11}{10}{{t}^{2}}=frac{{{t}^{2}}}{10}(-t+11)$. ${h}'(t)=0Leftrightarrow left[ begin{align} & t=0 & t=11 end{align} right..$
Ta thấy $h(0)=20$, $h(11)approx 142$.
Khi đó, $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $142$ trên đoạn $[0;11]$.
Vậy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $142$ (cm).
d) Đúng
Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $v(t)=-0,1{{t}^{3}}+1,1{{t}^{2}}$ với $tin [0;10]$.
Ta có ${v}'(t)=-0,3{{t}^{2}}+2,2t=-0,3tleft( t-frac{22}{3} right)$.
Suy ra $v'(t) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 0 t = frac{{22}}{3} end{array} right.$.
Ta thấy $v(0)=0$, $vleft( frac{22}{3} right)approx 19,7$, $v(11)=0$.
Khi đó, $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $19,7$ trên đoạn $[0;10]$ tại $t=frac{22}{3}$.
Ta có $hleft( frac{22}{3} right)approx 92,3>80$.
Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn $80$ cm.
Câu 7. (THPT Mộ Đức 2 – Quảng Ngãi) Nhằm điều tiết mực nước của hồ chứa trong những ngày mưa lớn, một hồ thủy điện thông báo mở của xả lũ trong 5 giờ, bắt đầu từ thời điểm 0h. Lưu lượng nước xả lũ là lượng nước hồ thủy điện xả về hạ lưu trên mỗi đơn vị thời gian, được ước tính bởi hàm số $fleft( t right)=a{{t}^{3}}+b{{t}^{2}}+1$ ( đơn vị nghìn ${{m}^{3}}/s$), trong đó $t$ được tính bằng đơn vị giờ, là thời gian từ 0h đến 5h. Tại thời điểm 0h, lưu lượng nước xả về hạ lưu là 1 nghìn ${{m}^{3}}/s$ và bắt đầu tăng cho đến khi đạt cực đại bằng 3 nghìn ${{m}^{3}}/s$ thì lưu lượng nước giảm dần, đến thời điểm 5h thì trở về lại 1 nghìn ${{m}^{3}}/s$. Hàm số $y=fleft( t right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
a) Tổng lượng nước được hồ chứa xả về hạ lưu từ 0h đến 5h là $20,25$ triệu ${{m}^{3}}$.
b) Lưu lượng nước xả lũ đạt cực đại tại thời điểm $3h20$
c) $fleft( 5 right)=1$
d) Giá trị của $a$ là $-0,2$
Lời Giải
a) Sai.
Lưu lượng nước được hồ chứa xả về hạ lưu từ 0h đến 5 h là $intlimits_{0}^{5}{left( -0,108{{t}^{3}}+0,54{{t}^{2}}+1 right)dt}=10,625$
Tổng lượng nước được hồ chứa xả về từ 0h đến 5h là $10,625.5.3600=191250$ nghìn ${{m}^{3}}$
b) Đúng.
c) Đúng
d) Sai. Ta có $fleft( 5 right)=1Leftrightarrow 125a+25b+1=1$ hay $5a+b=0$hay $b=-5a$ (1)
$f’left( t right) = 3a{t^2} + 2bt = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 0 t = frac{{ – 2b}}{{3a}} = frac{{10}}{3} end{array} right.$
Giá trị cực đại của hàm số là $fleft( frac{10}{3} right)=a.{{left( frac{10}{3} right)}^{3}}+b.{{left( frac{10}{3} right)}^{2}}+1=3$ (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được $a=-0,108;,b=0,54$
Skip to PDF content
TẢI FILE ĐỀ
TÀI FILE LỜI GIẢI CHI TIẾT
