Phần Tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc giúp ôn thi Tốt nghiệp môn Toán và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tính đơn điệu của hàm số hay nhất tương ứng.
Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
- 100 Bài tập Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (nâng cao) Xem chi tiết
- 120 Bài tập Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (Nhận biết) Xem chi tiết
- 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) Xem chi tiết
- Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Xem chi tiết
- Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số Xem chi tiết
- Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu Xem chi tiết
- Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu Xem chi tiết
- Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số Xem chi tiết
- Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số Xem chi tiết
- Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l Xem chi tiết
- Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l Xem chi tiết
- Cách xét tính đơn điệu của hàm đa thức (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Cách xét tính đơn điệu của hàm phân thức (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Cách xét tính đơn điệu của hàm logarit (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
- Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (cực hay, có lời giải) Xem chi tiết
Cách xét tính đơn điệu của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.
4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 – 6×2 + 9x -3
Hướng dẫn
Tập xác định: D = R
Ta có y’ = 3×2 – 12x + 9
y’ = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)
Hướng dẫn
Tập xác định D = [0; 2]
Ta có : y’ = y’ = 0 ⇔ x=1
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)
Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 – x)
Hướng dẫn
Hàm số xác định và liên tục trên D = R{1}.
Tìm y’ = > 0; ∀x ≠ 1.
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).
Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi
2. Hàm phân thức bậc nhất:
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay ad-bc>0
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay ad-bc<0
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
Hướng dẫn
+ Tập xác định: D=R
+ Ta có: y’=x2+2(m+1)x-(m+1)
+ Δ’=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5
+ Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì
Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.
Hướng dẫn
+ Tập xác định: D=R
+ Đạo hàm y’≠(m2-m) x2+4mx+3
+ Hàm số luôn đồng biến trên R y’≥0 ∀ x∈R
Xét m2-m=0 ⇒
Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y’=3>0 ∀x∈R
⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m=1 phương trình trở thành y=2×2+3x-1;y’=4x+3
Khi đó y’>0 4x+3>0 x<-3/4
⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xét m2-m≠0
Khi đó
Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0
Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Hướng dẫn
+ Tập xác định: D=R{m}
+ Đạo hàm . Dấu của y’ là dấu của biểu thức -m2-7m+8
+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y’>0 ∀x∈D
-m2-7m+8>0 -8<m<1
Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1
Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm y’
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≤ 0 ∀x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)
Bước 4: Kết luận
m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
⇒ f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x1 hoặc α ≥ x2
Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y’= (ad – bc)/(cx + d)2
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad – bc < 0 và -d/c ∉ K
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 – mx2+(1 – 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y’ = x2 – 2mx + 1 – 2m
Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y’ ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x2 -2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)
⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x2 + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)
Xét hàm số f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)
f'(x) = (x2 + 2x – 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x (1;+∞)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x – 1)/(x – m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Hướng dẫn
TXĐ: D=R{m}.
Ta có y’= (-2m + 1)/(x – m)2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y’ < 0 ∀ x ∈ (2; 3).
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 – x2 + 3x + m – 2 đồng biến trên (-3 ; 0)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y’= 3mx2 – 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:
y’ ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))
⇔ 3mx2 – 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)
⇔ m ≥(2x-3)/(3×2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)
Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3×3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥ = -1/3.
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
- Tổng hợp lý thuyết Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
- Chủ đề: Cực trị của hàm số
- Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Chủ đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số
- Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số
- Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị
- Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số
