Bài viết dưới đây trình bày cách giải hệ phương trình bao gồm các dạng toán nâng cao của hệ phương trình và một số ví dụ chọn lọc có đáp án chi tiết. Hãy theo dõi bài viết để tìm hiểu rõ hơn về hệ phương trình nhé.
Các dạng toán nâng cao giải hệ phương trình và ví dụ
1. Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
*Phương pháp giải: Dùng phương pháp thế
- Bước 1: Từ phương trình bậc nhất ta rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
- Bước 2: Giải phương trình mới (chỉ chứa 1 ẩn) sau đó kiểm tra nghiệm đã thỏa mãn điều kiện chưa (nếu có).
- Bước 3: Kết luận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
Ta có (1) ⇔ y = 2 – x thế vào phương trình (2) ta có
x2 – (2 – x) + 2x = 2
⇔ x2 + 3x – 4 = 0
⇔ (x – 1)(x + 4) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -4
với x = 1 suy ra y = 2 – 1 = 1
với x = -4 suy ra y = 2 – (-4) = 6
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (-4; 6).
2. Dạng 2: Hệ gồm 2 phương trình có thể đưa về hệ hai phương trình bậc nhất bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
*Phương pháp giải: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
Điều kiện:
Đặt
Khi đó hệ (I) trở thành:
Lấy phương trình (1) cho trừ phương trình (2) ta được hệ phương trình:
Với ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 1
Với ⇔ y – 2 = 3 ⇔ y = 5
Vậy nghiệm của hệ (x; y) = (1; 5).
3. Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình có dạng:
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Nhân 2 vế của phương trình (1) và phương trình (2) với k và k’ sao cho: k.d = k’.d’
- Bước 2: Trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình dạng: Ax2 + Bxy + Cy2 = 0 (*)
Xét y = 0
Xét y ≠ 0, ta đặt: x = yt
Phương trình (*) trở thành:
Ay2t2 + By2t + Cy2 = 0
⇔ At2 + Bt + C = 0
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm t.
- Bước 4: Thay t để tìm x, y sau đó kết luận nghiệm.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
Nhân hai vế phương trình (1) với 2 sau đó trừ phương trình (2) ta được:
x2 – 3xy + 2y2 = 0 (*)
+) Xét y = 0 ⇒ x2 = 0 ⇔ x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn
+) Xét y ≠ 0. Đặt x = ty
Phương trình (*) trở thành: t2y2 – 3ty2 + 2y2 = 0
⇔ t2 – 3t + 2 = 0 ⇔ (t – 1)(t – 2) = 0
⇔ t = 1 hoặc t = 2
Với t = 1 suy ra x = y thay vào phương trình (1) ta có:
x2 – x.x – x2 = 1 ⇔ -x2 = 1(vô lý)
Với t = 2 suy ra x = 2y thay vào phương trình (1) ta có:
(2y)2 – 2y.y – y2 = 1 ⇔ y2 = 1
⇔y = 1 hoặc y = -1
- y = 1 suy ra x = 2.1 = 2
- y = -1 suy ra x = 2. (-1) = -2
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2; 1) hoặc (x; y) = ( -2; -1).
4. Dạng 4: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử.
*Phương pháp giải: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 4:Giải hệ phương trình:
ĐÁP ÁN
Ta có: (1) ⇔ (x – y)2 = 0 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y thế vào phương trình (2) ta được:
2×2 – x2 = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1
với x = 1 suy ra y = 1
với x = -1 suy ra y = -1
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (-1; -1).
5. Dạng 5: Hệ đối xứng.
a) Hệ đối xứng loại 1
– Hệ đối xứng loại 1 là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi. Hệ có dạng:
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm: Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y
- Bước 2: Đặt: ĐK: S2 – 4P ≥ 0 (*)
- Bước 3: Thay vào hệ phương trình (I), ta được một hệ phương trình có hai ẩn là S và P.
- Bước 4: Giải hệ phương trình ẩn S và P sau đó đối chiếu (*).
- Bước 5: Tìm nghiệm x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0
- Bước 6: Kết luận nghiệm.
b) Hệ đối xứng loại 2
– Hệ đối xứng loại 2 là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1). Hệ đối xứng loại 2 có dạng:
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Trừ từng vế của phương trình (1) và (2) ta được hệ phương trình:
- Bước 2: Biến đổi (3) về phương trình tích (3) ⇔ (x – y).g(x, y) = 0 ⇔ x = y hoặc g(x, y) = 0
Như vậy
- Bước 3: Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là một nghiệm của nó.
Ví dụ 5.1: Giải hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
Ta thấy khi thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì hệ không thay đổi nên là hệ đối xứng loại 1.
Ta có:
Đặt ĐK: S2 – 4P ≥ 0 (*)
Ta có hệ phương trình:
Cộng phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình:
S2 + S = 6 ⇔ S2 + S – 6 = 0 ⇔ (S – 2)(S + 3) = 0
⇔ S = 2 hoặc S = -3
+) S = 2 ⇒ 2P = 2 – S = 2 – 2 = 0 ⇔ P = 0 (thỏa mãn (*))
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 ⇔ X2 – 2X = 0 ⇔ X = 0 hoặc X = 2
+) S = -3 ⇒ 2P = 2 – S = 2 – (-3) = 5 ( không thỏa mãn (*))
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (0; 2) hoặc (2; 0).
Ví dụ 5.2: Giải hệ phương trình:
ĐÁP ÁN
Ta thấy khi đổi vai trò của x và y thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại nên là hệ đối xứng loại 2.
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta được phương trình:
x2 – y2 = 2y – 2x ⇔ (x – y)(x + y) = 2(y – x)
⇔ x – y = 0 hoặc x + y = -2
+) x – y = 0 ⇔ x = y thế vào phương trình (1) ta được:
x2 – 3 = 2x ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇒ y = x = 1 hoặc y = x = 3
+) x + y = -2 ⇔ y = -2 – x thế vào phương trình (1) ta được:
x2 – 3 = 2(-2 – x) ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = -1 suy ra y = -2 – (-1) = -1
Vậy nghiệm của hệ (x; y) bằng (1; 1), (3; 3), (-1; -1).
6. Dạng 6: Hệ phương trình có chứa căn thức.
*Phương pháp giải:
- Bước 1:Tìm điều kiện để căn thức có nghĩa.
- Bước 2: Đặt ẩn phụ
- Bước 3: Giải hệ phương trình chứa ẩn mới
- Bước 4: Thay nghiệm vào tìm ẩn đề bài yêu cầu và kết luận nghiệm.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
Điều kiện:
Đặt
Khi đó (I) trở thành:
Nhân 2 vế phương trình (1) với 2 sau đó trừ phương trình (2) ta được hệ phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)
(thỏa mãn diều kiện)
Vậy nghiệm của hệ (x; y) = (0; 4).
7. Dạng 7: Hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
*Phương pháp giải:
- Cách 1:
- Bước 1: Dùng phương pháp thế đưa hệ phương trình về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Bước 2: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Bước 3: Kết luận nghiệm.
- Cách 2:
- Bước 1: Xét trường hợp phá dấu giá trị tuyệt đối sau đó giải hệ.
- Bước 2: Đối chiếu nghiệm với điều kiện sau đó kết luận nghiệm
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:
ĐÁP ÁN
Cách 1:
Ta có :
+) y ≥ 0 phương trình (2) trở thành: y – 2y= -5 ⇔ -y = -5 ⇔ y = 5 (thỏa mãn) thay vào phương trình (1) ta được x = 4 – 5 = -1.
+) y < 0 phương trình (2) trở thành: -y – 2y = -5 ⇔ -3y = -5 ( không thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ (x; y) là (-1; 5).
Cách 2:
Trường hợp 1: y ≥ 0 ta có hệ phương trình:
Lấy phương trình (2′) trừ phương trình (1′) ta được hệ phương trình: (thỏa mãn)
Trường hợp 2: y < 0 ta có hệ phương trình:
Lấy phương trình (1”) cộng phương trình(2”) ta được hệ phương trình: ( không thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ (x; y) là ( -1; 5).
Với bài viết này hi vọng các em sẽ làm quen được các dạng của giải hệ phương trình, sẽ là nền tảng cho các em thi vào lớp 10. Chúc các em thành công!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
