Cách tính Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.
Xét bài toán khoảng cách trong không gian.
Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên $left( SAB right)$.
Dựng $HEbot AB,left( Ein AB right)$ ta có:
$left{ begin{array} {} ABbot SH {} ABbot HE end{array} right.Rightarrow ABbot left( SHE right)$$left( 1 right)$.
Dựng $HFbot SE,left( Fin SE right)$. Từ $left( 1 right)$ $HFbot AB$
Do đó $HFbot left( SAB right)Rightarrow dleft( H;left( SAB right) right)=HF$.
Cách tính: Xét tam giác SHE vuông tại H có đường cao HF ta có: $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{H{{E}^{2}}}+frac{1}{S{{H}^{2}}}$
Hay $HF=frac{HE.SH}{sqrt{H{{E}^{2}}+S{{H}^{2}}}}$.
Bài tập khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có $AB=a,BC=asqrt{3}$. Biết $SA=2a$ và $SAbot left( ABC right)$.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$.
b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBM right)$.
Lời giải chi tiết
a) Ta có : $ABbot BC$, mặt khác $BCbot SARightarrow BCbot left( SAB right)$.
Dựng $AHbot SBRightarrow $ $left{ begin{array} {} AHbot SB {} AHbot BC end{array} right.Rightarrow AHbot left( SBC right)$.
Khi đó $dleft( A;left( SBC right) right)=AH=frac{SA.AB}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$.
b) Dựng $AEbot BM,AFbot SE$ ta có:
$left{ begin{array} {} AEbot BM {} AEbot BM end{array} right.Rightarrow BMbot left( SAE right)Rightarrow BMbot text{AF}$.
Khi đó: $left{ begin{array} {} AFbot SE {} AFbot BM end{array} right.Rightarrow AFbot left( SBM right)$.
Ta có: $AB=a,AC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a$. Do BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
$BM=frac{1}{2}AC=AM=AB=aRightarrow Delta ABM$ đều cạnh $a$$Rightarrow AE=frac{asqrt{3}}{2}$.
Khi đó $dleft( A;left( SBM right) right)=frac{AE.SA}{sqrt{A{{E}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=frac{2asqrt{57}}{19}$.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh $2a$, $SAbot left( ABC right)$. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60{}^circ $.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCM right)$, với M là trung điểm của cạnh AB.
Lời giải chi tiết
a) Do $SAbot left( ABC right)Rightarrow widehat{left( SB;left( ABC right) right)}=widehat{SBA}=60{}^circ $.
Do đó $SA=ABtan 60{}^circ =2asqrt{3}$.
Dựng $AEbot BC,Delta ABC$ đều nên $frac{ABsqrt{3}}{2}=asqrt{3}$.
Dựng $AFbot SE$, mặt khác $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AE end{array} right.Rightarrow BCbot text{AF}$.
$Rightarrow AFbot left( SBC right)Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AF=frac{SA.AE}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=frac{2asqrt{21}}{7}$.
b) Do M là trung điểm của AB nên $CMbot AB$.
Mặt khác $CMbot SARightarrow CMbot left( SAM right)$. Dựng $AHbot SMRightarrow AHbot left( SMC right)$.
Khi đó $dleft( A;left( SMC right) right)=frac{SA.AM}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$.
Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết $OA=a,OB=b,OC=c$. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng $left( ABC right)$. Lời giải chi tiết
Do $left{ begin{array} {} OCbot OA {} OCbot OB end{array} right.Rightarrow OCbot left( OAB right)Rightarrow ABbot OC$.
Dựng $OEbot AB,OFbot CE$ suy ra $text{OF}bot BC$.
Khi đó $OFbot left( ABC right)Rightarrow dleft( O;left( ABC right) right)=OF$.
Mặt khác: $frac{1}{O{{F}^{2}}}=frac{1}{O{{C}^{2}}}+frac{1}{O{{E}^{2}}}$ và $frac{1}{O{{E}^{2}}}=frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{B}^{2}}}$
Do đó $frac{1}{{{d}^{2}}left( O;left( ABC right) right)}=frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}$
Vậy $d=frac{abc}{sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}$.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết $SB=3a,AB=4a,BC=2a$. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $left( SAC right)$.
A. $frac{12asqrt{61}}{61}$ B. $frac{4a}{5}$ C. $frac{12asqrt{29}}{29}$ D. $frac{3asqrt{14}}{14}$
Lời giải chi tiết
Ta có: BS, BA, BC đôi một vuông góc với nhau nên ta có:
$frac{1}{{{d}^{2}}left( B;left( SAC right) right)}=frac{1}{S{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}=frac{1}{9{{a}^{2}}}+frac{1}{16{{a}^{2}}}+frac{1}{4{{a}^{2}}}=frac{61}{144{{a}^{2}}}$
Do đó $dleft( B;left( SAC right) right)=frac{12asqrt{61}}{61}$. Chọn A.
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và $AB=a,BC=asqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết $SH=a$, tính khoảng cách từ H đến các mặt phẳng $left( SAB right)$ và $left( SAC right)$. Lời giải chi tiết
Dựng $HEbot AB$ và $HFbot SE$ thì ta có $dleft( H;left( SAB right) right)=HF$.
Mặt khác HE là đường trung bình trong tam giác ABC nên $HE=frac{BC}{2}=frac{asqrt{3}}{2}$.
Khi đó $dleft( H;left( SAB right) right)=HF=frac{HE.SH}{sqrt{H{{E}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{asqrt{21}}{7}$.
Tương tự dựng $HMbot BC,HNbot SMRightarrow dleft( H;left( SBC right) right)=HN$
Mặt khác $HM=frac{AB}{2}=frac{a}{2}Rightarrow HN=frac{SH.HM}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{5}}$.
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a,AD=2a$, SA vuông góc với đáy và $SA=a$.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCD right)$ và $left( SBC right)$.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBD right)$.
Lời giải chi tiết
a) Dựng $ANbot SB$. Do $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AB end{array} right.Rightarrow BCbot AN$.
$ANbot left( SBC right)Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AN=frac{SA.AB}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}$
Vậy $left( A;left( SBC right) right)=frac{asqrt{2}}{2}$.
Tương tự $dleft( A;left( SCD right) right)=AM=frac{SA.AD}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$.
b) Dựng $AEbot BD,text{AF}bot SE$.
Ta chứng minh được $dleft( A;left( SBD right) right)=d=AF$
Vì $ASbot ABbot ADRightarrow frac{1}{{{d}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{D}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}Rightarrow d=frac{2a}{3}$.
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $2a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Biết $SD=3a$.
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( SCD right)$.
b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng $left( SBD right)$.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $HD=sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=asqrt{5}$
Mặt khác $SH=sqrt{S{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=2a$.
Dựng $HMbot CD,HNbot SMRightarrow dleft( H;left( SCD right) right)=HN$.
Do AHMD là hình chữ nhật nên $AD=HM=2a$.
Khi đó $dleft( H;left( SCD right) right)=frac{SH.HM}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=asqrt{2}$.
b) Dựng $HEbot BD;HFbot SE$ khi đó $dleft( H;left( SBD right) right)=HF$
Ta có: $AC=2asqrt{2}Rightarrow OA=asqrt{2}Rightarrow HE=frac{OA}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$
Do đó $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{E}^{2}}}Rightarrow HF=frac{2a}{3}Rightarrow dleft( H;left( SBD right) right)=HF=frac{2a}{3}$.
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có tam giác ABC đều cạnh $a$. Gọi H là trung điểm của AB. Biết SH vuông góc với mặt đáy, mặt phẳng $left( SCD right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính
a) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( SCD right)$.
b) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( SBC right)$.
Lời giải chi tiết
a) Do $Delta ABC$ đều nên $CHbot ABRightarrow CHbot CD$
$CHbot left( SHC right)Rightarrow widehat{SCH}=60{}^circ ,CH=frac{asqrt{3}}{2}$.
Ta có: $SH=CHtan 60{}^circ =frac{3a}{2}$.
$HKbot BC,HK=frac{asqrt{3}}{4};HFbot SKRightarrow HFbot left( SBC right)$
Mặt khác: $HF=frac{HK.SH}{sqrt{H{{K}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{sqrt{42}a}{14}$.
Khi đó $dleft( H;left( SBC right) right)=frac{asqrt{42}}{14}$
b) Dựng $HEbot SC$ ta có: $HEbot left( SCD right)$.
Ta có: $HE=frac{HC.SH}{sqrt{H{{C}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{3a}{4}Rightarrow dleft( H;left( SCD right) right)=HE=frac{3a}{4}$.
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có $AB=BC=frac{AD}{2}$. Mặt phẳng $left( SAB right)$ và $left( SAD right)$ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết $SA=2a$ và đường thẳng SD tạo với mặt phẳng $left( SAC right)$ một góc $30{}^circ $. tính
a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCD right)$.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$.
Lời giải chi tiết
a) Do $left{ begin{array} {} left( SAB right)bot left( ABCD right) {} left( SAD right)bot left( ABCD right) end{array} right.Rightarrow SAbot left( ABCD right)$.
Đặt $AB=BC=frac{AD}{2}=x$, gọi E là trung điểm của AC ta có: $CE=AB=frac{1}{2}AD$ $Rightarrow Delta ACD$ vuông tại C (tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền trong tam giác vuông).
+) Khi đó ta có: $SC=sqrt{2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}},CD=xsqrt{2}$.
+) Mặt khác: $left{ begin{array} {} CDbot SA {} CDbot AC end{array} right.Rightarrow CDbot left( SAC right)$.
Do đó $widehat{left( SD;left( SAC right) right)}=widehat{DSC}=30{}^circ Rightarrow tan 30{}^circ =frac{DC}{SC}Rightarrow frac{xsqrt{2}}{sqrt{2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{3}}Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=4{{a}^{2}}Leftrightarrow x=a$.
Dựng $AKbot SCRightarrow AKbot left( SCD right)Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=AK=frac{SA.AC}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3}}$.
b) Dựng $AHbot SB$, ta có: $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AB end{array} right.Rightarrow BCbot AH$.
Mặt khác: $AHbot SBRightarrow AHbot left( SBC right)$.
Do đó $AH=frac{AB.SA}{sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AH=frac{2a}{sqrt{5}}$.
Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết $SA=asqrt{2}$ và SB tạo với đáy một góc $30{}^circ $. Gọi H là trung điểm của AD. Tính các khoảng cách sau:
a) $dleft( H;left( SBC right) right)$
b) $dleft( H;left( SAC right) right)$
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có: $SHbot AD$
Lại có: $left( SAD right)bot left( ABCD right)Rightarrow SHbot left( ABCD right)$.
Mặt khác: $AD=SAsqrt{2}=2aRightarrow SH=frac{1}{2}AD=a$.
$widehat{SBH}=30{}^circ Rightarrow HBtan 30{}^circ =SH=aRightarrow HB=asqrt{3}$
Khi đó: $AB=sqrt{H{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=asqrt{2}$
Dựng $left{ begin{array} {} HEbot BC {} HEbot SE end{array} right.$ ta có: $BCbot HF$ từ đó suy ra $HFbot left( SBC right)Rightarrow dleft( H;left( SBC right) right)=HF$.
Ta có: $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{E}^{2}}}Rightarrow HF=frac{asqrt{6}}{3}=dleft( H;left( SBC right) right)$.
b) Dựng $HNbot ACRightarrow ACbot left( SHN right)$, dựng $HIbot SNRightarrow HIbot left( SAC right)$
Dựng $DMbot ACRightarrow DM=frac{2asqrt{2}}{sqrt{6}}Rightarrow HN=frac{a}{sqrt{3}}Rightarrow HI=frac{HN.SH}{sqrt{H{{N}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{a}{2}$.
Do đó $dleft( H;left( SAC right) right)=HI=frac{a}{2}$
Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân $left( AD//BC right)$ có $AB=BC=CD=a,AD=2a$, SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng $left( SCD right)$ tạo với mặt phẳng $left( ABCD right)$ một góc $60{}^circ $. Tính cách các khoảng cách sau:
a) $dleft( A;left( SCD right) right)$
b) $dleft( A;left( SBC right) right)$
Lời giải chi tiết
a) Gọi O là trung điểm của cạnh AD ta có tứ giác ABCO là hình bình hành $Rightarrow AB=CO=a=frac{1}{2}AD$ do đó $widehat{ACD}=90{}^circ Rightarrow ACbot CD$ mà $SAbot CD$ nên $left( SAC right)bot CDRightarrow widehat{SCA}=60{}^circ $.
+) Ta có: $AC=sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=asqrt{3}$ suy ra $SA=ACtan 60{}^circ =3a$
+) Dựng $AEbot SC,AEbot CDRightarrow AEbot left( SCD right)$.
+) Khi đó $dleft( B;SCD right)=dleft( O;SCD right)=frac{1}{2}dleft( A;left( SCD right) right)$.
+) Ta có: $AE=frac{SA.AC}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{3a}{2}Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=AE=frac{3a}{2}$.
b) Dựng $AKbot BC,AHbot SKRightarrow AHbot left( SBC right)$
+) Ta có: $dleft( A;left( SBC right) right)=AH$.
+) Mặt khác: $AK=dleft( C;AD right)=frac{AC.CD}{sqrt{A{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow AH=frac{AK.SA}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=frac{3a}{sqrt{13}}$
Do đó $dleft( A;left( SBC right) right)=AH=frac{3a}{sqrt{13}}$.
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$có đáy là tam giác đều cạnh $a$, gọi I là trung điểm cạnh BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc $60{}^circ $.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( A’BC right)$.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa A’I và song song với AC.
Lời giải chi tiết
a) Do $AA’bot left( ABC right)Rightarrow widehat{left( A’C;left( ABC right) right)}=widehat{A’CA}$.
Ta có: $widehat{A’CA}=60{}^circ Rightarrow AA’=ACtan 60{}^circ =asqrt{3}$
Dựng $AIbot BCRightarrow BCbot left( A’AI right)$ và $AI=frac{asqrt{3}}{2}$
Dựng $AHbot A’IRightarrow dleft( A;left( A’BC right) right)=AH$
Ta có: $AH=frac{AI.AA’}{sqrt{A{{I}^{2}}+AA{{‘}^{2}}}}=frac{asqrt{15}}{5}$
Vậy $dleft( A;left( A’BC right) right)=AH=frac{asqrt{15}}{5}$
b) Dựng $Ix//ACRightarrow left( alpha right)equiv left( A’Ix right)$
Khi đó: $dleft( A;left( alpha right) right)=dleft( A;left( A’Ix right) right)$, Ix cắt AB tại trung điểm M và AB.
Dựng $AKbot Ix,AEbot A’K$
Do $IM//ACRightarrow widehat{AMK}=widehat{MAC}=60{}^circ $ suy ra $AK=AMsin widehat{AMK}=frac{a}{2}sin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{4}$
Ta có: $dleft( A;left( A’IK right) right)=AE=frac{AK.A’A}{sqrt{A{{K}^{2}}+A'{{A}^{2}}}}=frac{asqrt{51}}{17}$
Bài tập 13: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$có đáy là tam giác vuông cân tại A với $AB=AC=3a$. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho $HC=2HB$. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng $2a$.
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( B’AC right)$.
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( BAA’B’ right)$.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=3asqrt{2}Rightarrow HB=asqrt{2}$
Lại có $B’H=sqrt{BB{{‘}^{2}}-H{{B}^{2}}}=asqrt{2}$
Dựng $HEbot AC,HFbot B’ERightarrow HFbot left( B’AC right)$
Áp dụng định lý Talet trong tam giác BAC ta có:
$frac{HE}{AB}=frac{CH}{BC}=frac{2}{3}Rightarrow HE=2aRightarrow HF=frac{HE.B’H}{sqrt{H{{E}^{2}}+B'{{H}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3}}$
Do có: $dleft( H;left( B’AC right) right)=HF=frac{2a}{sqrt{3}}$
b) Dựng $HMbot AB,HNbot B’M$
Khi đó $dleft( H;left( B’BA right) right)=HN$.
Ta có: $HM=frac{AC}{3}=aRightarrow HN=frac{HB’.HM}{sqrt{HB{{‘}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=frac{asqrt{6}}{3}$.
