ZFC là “nền tảng” của toán học là sai.
ZFC là một hệ thống tiên đề của lý thuyết tập hợp, nơi toán học có thể được “thực hiện.” Vì vậy, bạn có thể xem nó như một hệ thống nền tảng của toán học, và nó phổ biến để làm như vậy. Tức là, nếu một mệnh đề toán học nào đó (được mã hóa bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp) có thể chứng minh đúng hoặc chứng minh sai trong ZFC thì nó được coi là đúng hoặc sai.
Nhưng, số học cũng có thể là một hệ thống nền tảng của toán học, và các tiên đề của Peano là một sơ đồ tiên đề khá chuẩn cho số học. Bạn có thể mã hóa tất cả các định lý toán học của mình trong PA và chứng minh mọi thứ về chúng, thậm chí cả những thứ không phải là số học, như giải tích. Điều này thoạt đầu gây ngạc nhiên, nhưng sau khi suy nghĩ kỹ hơn, nó thực sự không nên như vậy. Chúng ta thực sự đang nói về các “hệ thống vận hành” khác nhau cho toán học.
Bây giờ, số học Peano yếu hơn ZFC, có thể chứng minh được (giả sử nó nhất quán, điều mà không thể chứng minh được bằng Định lý bất toàn của Gödel). Cụ thể, ZFC có thể chứng minh các tiên đề của Peano (với một mã hóa tự nhiên của chúng bằng ngôn ngữ của các tập hợp), đó là điều bạn đã hỏi. Nhưng, nó cũng có thể chứng minh những điều mà số học Peano không thể chứng minh (xem định lý Paris-Harrington ).
Đây không chỉ là một đặc điểm của Số học so với ZFC, mà còn có các dạng “mạnh hơn” của ZFC, chứng minh các định lý khác nhau mà ZFC không chứng minh. Ví dụ cổ điển nhất là ZFC+CH (giả thuyết continuum) nhất quán trong ZFC là nhất quán và chứng minh nhiều thứ hơn. Hoặc ZFC+không CH, hoặc các bổ sung “số lớn” khác nhau cho ZFC.
Tương tự, có rất nhiều hệ thống “yếu hơn” của số học rất thú vị. Như RCA, ACA. Đây là những hệ thống tiên đề thú vị cho lĩnh vực toán học ngược, đặt ra những câu hỏi như, bạn cần bao nhiêu “toán học” để chứng minh các định lý toán học cụ thể.
