Với Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 trong Bài 2: Công thức lượng giác Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 21.
Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 Kết nối tri thức
Bài 1.7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.
Lời giải:
Ta có:
+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
= 22.32−22.12=6−24.
+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
= 22.32+22.12=6+24.
+) tan 15° = tan(45° – 30°) = tan45°−tan30°1+tan45°.tan30° = 1−331+1.33=2−3.
+) cot 15° = 1tan15°=12−3=2+3.
Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:
a) cosa+π6, biết sina=13 và π2<a<π;
b) tana−π4, biết cosa=−13 và π<a<3π2.
Lời giải:
a) Vì π2<a<π nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = −1−sin2a=−1−132=−63.
Ta có: cosa+π6=cosacosπ6−sinasinπ6
=−63.32−13.12=−6−123=−3+326.
b) Vì π<a<3π2 nên sin a < 0, do đó tana=sinacosa>0.
Mặt khác từ 1+tan2a=1cos2a
Suy ra tana=1cos2a−1=1−132−1=22.
Ta có: tana−π4=tana−tanπ41+tanatanπ4=22−11+22.1=9−427.
Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:
a) sina=13 và π2<a<π;
b) sin a + cos a = 12 và π2<a<3π4.
Lời giải:
a) Vì π2<a<π nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = −1−sin2a=−1−132=−223.
Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = 2.13.−223=−429.
cos2a=1−2sin2a=1−2.132=79.
tan2a=sin2acos2a=−42979=−427.
b) Ta có: (sin a + cos a)2 = 122⇔sin2a+cos2a+2sinacosa=14
⇔1+sin2a=14⇔sin2a=−34.
Vì π2<a<3π4 nên π<2a<3π2, do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1
Suy ra cos2a=−1−sin22a=−1−−342=−74.
Do đó, tan2a=sin2acos2a=−34−74=37=377.
Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A=sinπ15cosπ10+sinπ10cosπ15cos2π15cosπ5−sin2π15sinπ5;
b) B=sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8.
Lời giải:
a) Ta có:
A=sinπ15cosπ10+sinπ10cosπ15cos2π15cosπ5−sin2π15sinπ5=sinπ15cosπ10+cosπ15sinπ10cos2π15cosπ5−sin2π15sinπ5
=sinπ15+π10cos2π15+π5=sinπ6cosπ3=1212=1.
b) Ta có:
B=sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8=12.2sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8
=12sin2.π32cosπ16cosπ8=12sinπ16cosπ16cosπ8
=14.2sinπ16cosπ16cosπ8=14sinπ8cosπ8=18.2sinπ8cosπ8
=18sinπ4=18.22=216.
Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:
sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.
Lời giải:
Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = 12[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]
= 12[cos 2b – cos 2a] = 12[(2cos2 b – 1) – (2cos2 a – 1)] = cos2 b – cos2 a.
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).
Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a – sin2 b)
Do đó, 12[cos 2b – cos 2a] = 12. 2(sin2 a – sin2 b) = sin2 a – sin2 b.
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).
Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).
Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có B^=75°; C^=45° và a = BC = 12 cm.
a) Sử dụng công thức S=12absinC và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức
S=a2sinBsinC2sinA.
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: asinA=bsinB=csinC
Từ đó suy ra b=asinBsinA.
Diện tích tam giác ABC là S=12absinC=12a.asinBsinA.sinC=a2sinBsinC2sinA.
Vậy S=a2sinBsinC2sinA (đpcm).
b) Ta có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).
⇒A^=180°−B^+C^=180°−75°+45°=60°.
Ta có: S=a2sinBsinC2sinA=122sin75°sin45°2sin60°
=144.12cos75°−45°−cos75°+45°2.32
=72cos30°−cos120°3=7232−−123=36+123.
Vậy diện tích của tam giác ABC là S=36+123 (cm2).
Bài 1.13 trang 21 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [-π; π] là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
x1t=2cosπ3t+π6 (cm),
x2t=2cosπ3t−π3 (cm).
Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Lời giải:
Dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t)
Suy ra x(t) = 2cosπ3t+π6+2cosπ3t−π3 (cm).
Ta có: 2cosπ3t+π6+2cosπ3t−π3
=2cosπ3t+π6+cosπ3t−π3
=2.2cosπ3t+π6+π3t−π32cosπ3t+π6−π3t−π32
= 4cosπ3t−π12cosπ4 = 4cosπ3t−π12.22 = 2cosπ3t−π12
Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là x(t) = 22cosπ3t−π12 với biên độ A=22 và pha ban đầu là φ=−π12.
Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác hay khác:
- Giải Toán 11 trang 17
- Giải Toán 11 trang 18
- Giải Toán 11 trang 19
- Giải Toán 11 trang 20
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
-
Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác
-
Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
-
Toán 11 Bài tập cuối chương 1
-
Toán 11 Bài 5: Dãy số
-
Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:
- Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
- Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
- Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
