Bài viết “Cách chứng minh hình chữ nhật đơn giản, dễ hiểu” sẽ hướng dẫn bạn các phương pháp chứng minh tính chất và đặc điểm của hình chữ nhật. Bạn sẽ được tìm hiểu cách chứng minh các định lý về hình chữ nhật một cách dễ hiểu và thú vị. Chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.
1. Các cách chứng minh hình chữ nhật
1.1. Chứng minh hình chữ nhật bằng cách chỉ ra tứ giác có ba góc vuông
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ( M thuộc cạnh BC). Vẽ đường thẳng d qua A và song song với BC, đường thẳng qua C vuông góc với đường thẳng d tại Q. Chứng minh rằng tứ giác AQCM là hình chữ nhật.
Giải
+ Tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM còn đóng vai trò là đường cao.
Do đó: AM BC.
Suy ra: = 90o (1)
+ Vì d // BC nên AQ // BC
Mà AM BC nên AM AQ.
Suy ra: = 90o (2)
+ Lại có: CQ AQ (do CQ d)
Suy ra: = 90o (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác AQCM là hình chữ nhật.
1.2. Chứng minh hình chữ nhật bằng cách chỉ ra hình bình hành có một góc vuông
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo. Trong đó, EA = EC, EB = ED và = 90o. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Giải
+ Vì EA = EC và EB = ED nên tứ giác ABCD là hình bình hành (do tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành).
+ ABCD là hình bình hành lại có = 90o nên ABCD là hình chữ nhật (do hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).
2. Bài tập chứng minh hình chữ nhật lớp 8
2.1. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB song song CD. Từ A kẻ AH vuông góc với DC và từ B kẻ BK vuông góc với DC ( H, K là những điểm thuộc DC). Chứng minh rằng tứ giác ABKH là hình chữ nhật.
ĐÁP ÁN
+ Vì AB // CD nên AB // HK (do H, K thuộc CD).
+ AH // BK (do cùng vuông góc với CD).
Do đó, ABKH là hình bình hành.
Lại có, = 90o.
Vậy, ABKH là hình chữ nhật.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. M’ là điểm đối xứng của M qua BC, N’ là điểm đối xứng của N qua BC. Hãy cho biết tứ giác MNN’M’ có phải là hình chữ nhật không? Tại sao?
ĐÁP ÁN
+ Ta có: MM’ = NN’ và MM’ // NN’ (do cùng vuông góc với BC).
Do đó, tứ giác MNN’M’ là hình bình hành.
+ Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó, MN // BC.
Mà MM’ BC nên MM’ MN.
Suy ra: = 90o.
Vậy, tứ giác MNN’M’ là hình chữ nhật.
Bài 3: Vì sao theo định nghĩa thì tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật còn theo dấu hiệu nhận biết thì tứ giác có ba góc vuông ta đã có thể kết luận đó là hình chữ nhật?
ĐÁP ÁN
Vì tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360o. Nên khi biết trong tứ giác có ba góc vuông, ta có thể tìm số đo góc còn lại là:
360o – 90o.3 = 90o.
Hay nói cách khác, trong một tứ giác đã có ba góc vuông thì góc còn lại chắc chắn cũng là góc vuông. Vì vậy, theo dấu hiệu nhận biết thì tứ giác có ba góc vuông ta đã có thể kết luận đó là hình chữ nhật.
2.2. Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 4: Cho tam giác MNP, kẻ MK vuông góc với NP (K thuộc NP), kẻ KQ vuông góc với MN (Q thuộc MN), kẻ KH vuông góc với MP (H thuộc MP). Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:
- Tứ giác MHKQ là hình chữ nhật.
- Tứ giác MHKQ là hình chữ nhật nếu tam giác MNP vuông tại M.
- Tứ giác MHKQ là hình chữ nhật nếu tam giác MNP vuông tại N.
- Tứ giác MHKQ là hình chữ nhật nếu tam giác MNP vuông tại P.
ĐÁP ÁN
+ Theo đề bài, ta có: KQ MN nên = 90o.
Lại có: KH MP nên = 90o.
+ Nếu tam giác MNP vuông tại M, nghĩa là: = 90o.
Khi đó, tứ giác MHKQ là tứ giác có ba góc vuông nên tứ giác MHKQ là hình chữ nhật.
Chọn câu B
Bài 5: Trong các trường hợp sau đây, trường hợp nào cho chúng ta một tứ giác là hình chữ nhật?
- Tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song với nhau và một góc vuông.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tứ giác có hai góc vuông.
- Cả A, B, C đều sai.
ĐÁP ÁN
+ Ở câu A, tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song với nhau là hình thang. Ngoài ra, còn có yếu tố có một góc vuông nên đây là hình thang vuông.
Vậy, A sai.
+ Ở câu B, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Vậy, B sai.
+ Ở câu C, tứ giác có hai góc vuông không thể kết luận đó là hình chữ nhật vì muốn trở thành hình hình chữ nhật thì tứ giác phải có ba góc vuông.
Vậy, C sai.
Do đó, cả A, B, C đều sai.
Chọn câu D
Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ các cách chứng minh hình chữ nhật. Đồng thời có thể vận dụng lý thuyết vào việc giải quyết những bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
