Bài viết hướng dẫn giải các bài toán có liên quan đến việc xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz.
1. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý Kết quả 1: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt và không thẳng hàng cho trước. Lúc đó, mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].$
Kết quả 2: Cho hai vectơ $vec a$ và $vec b$ không cùng phương cho trước. Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {vec c bot vec a} {vec c bot vec b} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn $vec c = [vec a,vec b].$
Kết quả 3: Hai mặt phẳng $(alpha )$, $(beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha }$ và ${vec n_beta }.$ $(alpha )//(beta )$ $ Rightarrow {vec n_alpha }$ và ${vec n_beta }$ cùng phương. $(alpha ) bot (beta )$ $ Leftrightarrow {vec n_alpha } bot {vec n_beta }.$
2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ba điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và $C(0;-1;3).$ A. $(P):x+y+z-4=0.$ B. $(P):x+2y+z-5=0.$ C. $(P):x+z-2=0.$ D. $(P):x+z-3=0.$
Lời giải: Ta có $overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]$ $ = ( – 2;0; – 2)$, có phương trình $(P): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$ biết $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và $P(0;1;2).$ A. $2x+z-3=0.$ B. $x+y+z-2=0.$ C. $3x + y + 2z-5=0.$ D. $3x +y +2z-1=0.$
Lời giải: Ta có $overrightarrow {MN} = (1;1; – 2)$, $overrightarrow {MP} = ( – 1;1;1).$ Mặt phẳng $(MNP)$ qua $M(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} ] = (3;1;2)$ có phương trình: $(MNP):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x+y-2z=0$, $(Q):-x+y+z+5=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ qua $A$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$ A. $x+ 2z-3=0.$ B. $2x+y – 2z-1=0.$ C. $3x + y + 2z – 4=0.$ D. $3x + y + 2z-5=0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1;1; – 2).$ Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_Q} = ( – 1;1;1).$ Gọi ${vec n_alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_p}} {{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_Q}} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_alpha } = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right] = (3;1;2).$ Mặt phẳng $(alpha )$ qua $A(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = (3;1;2)$, có phương trình $(alpha ):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;1;2)$ và hai mặt phẳng $(P):x-z+1=0$, $(Q):-x-2y+z+1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ qua $H$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$ A. $x + 2z – 3=0.$ B. $x+z-3=0.$ C. $x + z + 3 = 0.$ D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_p} = (1;0; – 1).$ Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_Q} = ( – 1; – 2;1).$ Gọi ${vec n_alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_P}} {{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_Q}} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_alpha } = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right] = ( – 2;0; – 2).$ Mặt phẳng $(alpha )$ qua $H(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = ( – 2;0; – 2)$ có phương trình $(alpha ): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;2)$, $B( – 1;1;0)$ và mặt phẳng $(alpha ):x – 4y – z + 10 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$ A. $x + 2z – 3 = 0.$ B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$ C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$ D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = (1; – 4; – 1)$ và $overrightarrow {AB} = ( – 2; – 2; – 2).$ Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot {{vec n}_alpha }} {{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} } end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = left[ {{{vec n}_alpha },overrightarrow {AB} } right] = (6;4; – 10).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $B(-1;1;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (6;4; – 10)$, có phương trình: $(P):6(x + 1) + 4(y – 1) – 10(z – 0) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + 2y – 5z + 1 = 0.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B( – 1;4; – 1)$ và song song với trục $Ox.$ A. $x + 2y + z – 8 = 0.$ B. $y + z – 5 = 0.$ C. $y + z – 3 = 0.$ D. $3x + y + z – 1 = 0.$
Lời giải: Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot vec i = (1;0;0)} {{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2)} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec i,overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$ có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$). Chọn đáp án C.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B(-1;4;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$ A. $x + 2y + z – 8 = 0.$ B. $y + z – 4 = 0.$ C. $y + z – 3 = 0.$ D. $x + y + z – 4 = 0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(Oyz):$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (1;0;0)$ và $overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2).$ Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot vec n} {{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} } end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec n,overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và song song với trục $Oz.$ A. $x + z – 4 = 0.$ B. $x – 2y + 3 = 0.$ C. $x – 2y + 5 = 0.$ D. $x + 2z – 7 = 0.$
Lời giải: Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot vec k = (0;0;1)} {{{vec n}_P} bot overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2)} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_p} = [vec k,overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$). Chọn đáp án B.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$ A. $x + z – 4 = 0.$ B. $x + 2z – 7 = 0.$ C. $x – 2y + 5 = 0.$ D. $x – 2y + 3 = 0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(Oxy):$ $z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (0;0;1)$ và $overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2).$ Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot vec n} {{{vec n}_P} bot overrightarrow {MN} } end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec n,overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;1)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và song song với trục $Ox.$ A. $x + 2y + z – 8 = 0.$ B. $y + z – 3 = 0.$ C. $y + z – 1 = 0.$ D. $3x + y + z – 1 = 0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = ( – 2;2; – 2).$ Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot vec i = (1;0;0)} {{{vec n}_P} bot vec n} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${{{vec n}_P} = [vec i,vec n] = (0;2;2)}.$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$). Chọn đáp án B.
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;3)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$ A. $x+2y +z-8=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $3x+y+z-1=0.$
Lời giải: Mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (1;0;0).$ Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = ( – 2;2; – 2).$ Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{vec n}_P} bot vec n} {{{vec n}_P} bot {{vec n}_alpha }} end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = left[ {vec n,{{vec n}_alpha }} right] = (0;2;2).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 5 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$). Chọn đáp án B.
3. LUYỆN TẬP 1. ĐỀ BÀI Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ biết $A(1;3;2)$, $B(2;-1;1)$ và $C(-1;1;0).$ A. $x + 2z – 3 = 0.$ B. $2x + y – 2z – 1 = 0.$ C. $3x + 2y – 5z + 4 = 0.$ D. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(-1;1;0)$ và hai mặt phẳng $(alpha ):x – 4y – z = 0$, $(beta ): – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $K$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(alpha )$ và $(beta ).$ A. $x – 2y + 3 = 0.$ B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$ C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$ D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và mặt phẳng $(alpha ): – x – 2y + z + 9 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$ A. $(P):x + y + z – 4 = 0.$ B. $(P):x + z – 3 = 0.$ C. $(P):x + z – 2 = 0.$ D. $(P):x + 2y + z – 5 = 0.$
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và song song với trục $Oy.$ A. $x+ 2z-3=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x + 2z – 5 = 0.$
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$ A. $x + 2z-3=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x + 2z-5=0.$
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và song song với trục $Oy.$ A. $x + 2z – 3=0.$ B. $y + z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x+2z -5=0.$
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$ A. $x + 2z-3=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x + 2z-5=0.$
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$ A. $x+z-4=0.$ B. $x + 2z – 7 = 0.$ C. $x-2y+5=0.$ D. $x – 2y +3=0.$
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và song song với trục $Oz.$ A. $x+z-4=0.$ B. $x + 2z-7 =0.$ C. $x – 2y +5=0.$ D. $x – 2y +3=0.$
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và mặt phẳng $(alpha ): – x + y + z + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M$, $N$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$ A. $2x+z-3=0.$ B. $x+y+z-2=0.$ C. $3x + y + 2z -5=0.$ D. $3x +y + 2z-1=0.$
2. BẢNG ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3 4 5 Đáp án D B B D D Câu 6 7 8 9 10 Đáp án D D D D C
