a) (D{A^2} = DC.DB)
Ta có (widehat {ACB} = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) ( Rightarrow AC bot BC,,hay,,,AC bot BD).
Ta có:(widehat {DAB} = {90^0}) ( Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có (D{A^2} = DC.DB).
b) Tứ giác AHCD nội tiếp.
Xét tứ giác AHCD có (widehat {AHD} = widehat {ACD} = {90^0} Rightarrow ) Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 900
( Rightarrow ) Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
c) (CH bot CF)
Do tứ giác AHCD nội tiếp nên (widehat {FHC} = widehat {ADC}) (cùng bù với (widehat {AHC})).
Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:
(widehat {CFH} = widehat {DAC}) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
(widehat {FHC} = widehat {ADC},,left( {cmt} right));
(Rightarrow Delta FHCbacksim Delta ADC,,left( g.g right)Rightarrow widehat{FCH}=widehat{ACD}) (hai góc tương ứng)
Mà (widehat {ACD} = {90^0} Rightarrow widehat {FCH} = {90^0} Rightarrow CH bot CF)
d) (frac{{BH.BC}}{{BF}} = 2R)
Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta có (O{A^2} = OD.OH) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà (OA = OB = R Rightarrow O{B^2} = OD.OH Rightarrow frac{{OB}}{{OH}} = frac{{OD}}{{OB}}).
Xét tam giác OBH và ODB có:
(widehat {BOD}) chung;
(frac{{OB}}{{OH}} = frac{{OD}}{{OB}},,left( {cmt} right));
(Rightarrow Delta OBHbacksim Delta ODB,,left( c.g.c right)Rightarrow widehat{OBH}=widehat{ODB})
Mà (widehat {ODB} = widehat {CAF}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).
(widehat {CAF} = widehat {CBF}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O))
( Rightarrow widehat {OBH} = widehat {CBF} Rightarrow widehat {OBH} + widehat {HBC} = widehat {CBF} + widehat {HBC} Rightarrow widehat {OBC} = widehat {HBF} = widehat {ABC})
Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:
(widehat {BFH} = widehat {BCA} = {90^0}) (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O));
(widehat {HBF} = widehat {ABC},,left( {cmt} right));
(Rightarrow Delta BFHbacksim Delta BCA,,left( g.g right)Rightarrow frac{BF}{BC}=frac{BH}{BA}Rightarrow frac{BH.BC}{BF}=BA=2R).
