a) Vì AC và MC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên (widehat {CAO} = 90^circ ,widehat {CMO} = 90^circ ).
Xét (Delta CAO) vuông tại A (left( {widehat {CAO} = 90^circ } right)) nên (Delta CAO) nội tiếp đường tròn đường kính CO, suy ra C, A, O thuộc đường tròn đường kính CO.
Xét (Delta CMO) vuông tại M (left( {widehat {CMO} = 90^circ } right)) nên (Delta CMO) nội tiếp đường tròn đường kính CO, suy ra C, M, O thuộc đường tròn đường kính CO.
Do đó A, C, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính CO hay tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
b) Ta có: (widehat {CAM} + widehat {MAB} = widehat {CAB} = 90^circ ) (1)
Vì (widehat {AMB} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên (Delta AMB) vuông tại M, suy ra (widehat {MAB} + widehat {ABM} = 90^circ ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (widehat {CAM} = widehat {ABM}) (3)
Xét (Delta DMO) vuông tại M (left( {widehat {DMO} = 90^circ } right)) nên D, M, O thuộc đường tròn đường kính OD.
Xét (Delta DBO) vuông tại B (left( {widehat {DBO} = 90^circ } right)) nên D, B, O thuộc đường tròn đường kính OD.
Do đó D, M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OD hay tứ giác DMOB nội tiếp đường tròn đường kính OD.
Do đó (widehat {ABM} = widehat {ODM}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM) (4)
Từ (3) và (4) suy ra (widehat {CAM} = widehat {ODM}).
c) Chứng minh PA.PO = PC.PM
Xét (Delta PAC) và (Delta PMO) có:
(widehat P) chung
(widehat {PAC} = widehat {PMO}left( { = 90^circ } right))
suy ra $Delta PACbacksim Delta PMO$ (g.g)
Suy ra (frac{{PA}}{{PC}} = frac{{PM}}{{PO}}) (tỉ lệ các cặp cạnh tương ứng)
Suy ra PA.PO = PC.PM.
Chứng minh E, F, P thẳng hàng
Vì CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) nên CA = CM, do đó C thuộc đường trung trực của AM.
OA = OM nên O thuộc đường trung trực của AM.
Do đó OC là đường trung trực của AM, hay $OCbot AM$.
Mà $BMbot AM$ (do $widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên OC // BM hay OC // BF.
Mà O là trung điểm của AB nên C là trung điểm của AF.
Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của BE.
Vì $ACbot AB,BDbot AB$ (hai tiếp tuyến của đường tròn) nên $AC//BD$ suy ra $Delta PACbacksim Delta PBD$ (định lí hai tam giác đồng dạng)
Do đó (frac{PC}{PD}=frac{AC}{BD}=frac{CF}{DE}) (vì C là trung điểm của AF, D là trung điểm của BE) (5)
Giả sử E’ là giao điểm của PF và BD.
Vì $AC//BD$ nên CF // DE’.
suy ra $Delta PCFbacksim Delta PDE’$ (định lí hai tam giác đồng dạng)
Do đó $frac{PC}{PD}=frac{CF}{DE’}$ (hai cặp cạnh tương ứng) (6)
Từ (5) và (6) suy ra $frac{CF}{DE}=frac{CF}{DE’}$ hay $DE=DE’$ nên $BD=DE’$.
Do đó D là trung điểm của BE’. Mà D là trung điểm của BE nên E trùng với E’.
Vậy E, F, P thẳng hàng.
