a) Xét tam giác ABI và tam giác ADI ta có:
(angle BAI=angle DAI) (theo giả thiết)
(AB=Atext{D}) (theo giả thiết)
AI: chung
(Rightarrow Delta ABI=Delta Atext{D}I (c-g-c))
(Rightarrow BI=ID) (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Vì (Delta ABI=Delta Atext{D}I (c-g-c)) nên:
(angle ABI=angle Atext{D}I) (2 góc tương ứng) (1)
Mà: (angle ABE=angle Atext{D}C={{180}^{0}}) (2 góc bẹt) (2)
Từ (1) và (2) ta có: (angle ABE-angle ABI=angle Atext{D}C-angle ADILeftrightarrow angle IBE=angle IDC)
Xét (Delta IBE) và (Delta IDC) ta có:
(angle IBE=angle Itext{D}C) (chứng minh trên)
(angle BIE=angle DIC) (2 góc đối đỉnh)
(BI=Itext{D}) (chứng minh trên)
(Rightarrow Delta IBE=Delta Itext{D}C (g-c-g)) (đpcm)
c) Ta có: BI = ID (chứng minh trên) (Rightarrow Delta BItext{D}) cân tại (IRightarrow angle IBD=angle IDB) (tính chất của tam giác cân) (1)
Ta lại có: (Delta IBE=Delta Itext{D}C (g-c-g)) (chứng minh trên) (Rightarrow IE=IC) (2 cạnh tương ứng) (Rightarrow Delta IEC) cân tại I
(Rightarrow angle IEC=angle ICE) (tính chất của tam giác cân) (2)
Xét 2 tam giác (Delta IEC) và (Delta IBD) ta có:
(angle BID=angle EIC) (2 góc đối đỉnh)
(angle IBD+angle IDB+angle BID=angle IEC+angle ICtext{E}+angle EIC={{180}^{0}}) (Tổng 3 góc của một tam giác bằng 1800) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: (2angle Itext{D}B+angle BItext{D}=2angle IEC+angle EIC)
(Rightarrow angle Itext{D}B=angle IEC hay angle Etext{D}B=angle DEC) (cặp góc so le trong bằng nhau)
(Rightarrow Btext{D}parallel EC) (đpcm)
d) Ta có (Delta IBE=Delta Itext{D}C (g-c-g))(chứng minh trên)
(Rightarrow angle BEI=angle DCI) (2 góc tương ứng)
Lại có: (angle BIE=angle DIC) (2 góc đối đỉnh)
(Rightarrow angle BEI+angle BIE=angle DCI+angle DIC) (*)
Xét tam giác BIE ta có:
(angle ABC=angle BIE+angle BEI) (góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó) (**)
Từ (*) và (**) ta có: (angle ABC=angle DCI+angle DIC) hay (angle ABC=angle ACB+angle DIC)
Theo giả thiết, ta có: (angle ABC=2angle ACB)
(Rightarrow angle DCI=angle DICRightarrow Delta DIC) cân tại (DRightarrow DI=DC)
Vì BI = ID (chứng minh trên) nên BI = DC.
(Rightarrow ) AC = AD + DC = AB + BI (đpcm)
