a) Chứng minh (Delta ABH) đồng dạng với (Delta CBA).
Ta có tam giác ABC vuông tại A ( Rightarrow angle BAC = {90^o})
Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH
( Rightarrow angle BHA = {90^o} Rightarrow angle BAC = angle BHA = {90^o})
Xét (Delta ABH) và (Delta CBA) có:
(begin{array}{l}angle B,,,chungangle BHA = angle BAC = {90^o},,,left( {cmt} right) Rightarrow Delta ABH sim Delta CBA,,,left( {g – g} right)end{array})
b) Cho (BH = 4cm,BC = 13cm). Tính độ dài đoạn AB.
Ta có (Delta ABH sim Delta CBA,,left( {cmt} right) Rightarrow frac{{AB}}{{BC}} = frac{{BH}}{{AB}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
( Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 13.4 = 52)
( Rightarrow AB = sqrt {52} ,,cm)
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh (AE.CH = AH.FC)
Ta có (HE bot HF,,,left( {gt} right) Rightarrow angle EHF = {90^o}.)
( Rightarrow angle EHA + angle AHF = {90^o}) (1)
Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH
( Rightarrow angle AHC = {90^o}) (tc) ( Rightarrow angle FHC + angle AHF = {90^o}) (2)
Từ (1) và (2) ( Rightarrow angle EHA = angle FHC) (cùng phụ với (angle AHF))
Xét (Delta EHA) và (Delta FHC) có:
(begin{array}{l}angle EHA = angle FHC,,,,left( {cmt} right)angle EAH = angle FCH,,,left( {Delta ABH sim Delta CBA} right) Rightarrow Delta EHA sim Delta FHC,,,left( {g – g} right)end{array})
( Rightarrow frac{{AE}}{{FC}} = frac{{AH}}{{CH}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
( Rightarrow AE.CH = AH.FC,,,left( {dpcm} right).)
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.
Ta có tam giác ABC vuông tại A ( Rightarrow angle ACH + angle ABH = {90^o})
Lại có tam giác ABH vuông tại H ( Rightarrow angle BAH + angle ABH = {90^o})
( Rightarrow angle ACH = angle BAH) (cùng phụ với (angle ABH))
Xét (Delta CAH) và (Delta ABH) có:
(angle ACH = angle BAH,,,left( {cmt} right))
(angle AHC = angle BHA = {90^o}) (AH là đường cao của tam giác ABC)
( Rightarrow Delta CAH sim Delta ABH,,left( {g – g} right))
( Rightarrow frac{{AC}}{{AB}} = frac{{CH}}{{AH}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Mà (frac{{HF}}{{HE}} = frac{{CH}}{{AH}},,left( {do,,Delta EHA sim Delta FHC} right) Rightarrow frac{{HF}}{{HE}} = frac{{AC}}{{AB}})
Xét (Delta EHF) và (Delta BAC) có:
(begin{array}{l}angle EHF = angle BAC = {90^o}frac{{HF}}{{HE}} = frac{{AC}}{{AB}},,,left( {cmt} right)end{array})
( Rightarrow Delta EHF sim Delta BAC,,,left( {c – g – c} right)) với tỉ số đồng dạng (k = frac{{HE}}{{AB}})
( Rightarrow frac{{{S_{EHF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {left( {frac{{HE}}{{AB}}} right)^2} Rightarrow {S_{EHF}} = {S_{ABC}}.{left( {frac{{HE}}{{AB}}} right)^2})
Mà ({S_{ABC}}) và AB không đổi nên để ({S_{EHF}}) nhỏ nhất ( Leftrightarrow HE) nhỏ nhất ( Leftrightarrow HE bot AB)
Vậy với E là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB thỏa mãn yêu cầu đề bài.
