Để chuẩn bị cho phần kiến thức rất quan trọng của chương 2 Đại số & Giải tích 11 như các khái niệm và các công thức về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp. Đầu tiên, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về khái niệm giai thừa. Vậy giai thừa là gì? Bài viết sau sẽ cung cấp cho các bạn phần kiến thức liên quan đến giai thừa như định nghĩa và các tính chất của giai thừa, đồng thời các dạng bài tập về giai thừa cũng sẽ được trình bày trong bài viết này. Để tìm hiểu rõ hơn, các bạn hãy cùng VOH Giáo Dục theo dõi bài viết sau đây nha.
1. Giai thừa là gì?
Định nghĩa giai thừa: Cho một số tự nhiên dương m bất kỳ. Khi đó, m giai thừa (kí hiệu là m!) chính là tích của m số tự nhiên dương đầu tiên, liên tiếp từ số 1 đến số m.
Chú ý: Với m = 0, ta quy ước 0! = 1 (= 1!).
2. Công thức tính giai thừa
Cho một số tự nhiên dương m bất kỳ. Khi đó, m giai thừa được tính theo công thức sau:
m! = 1 . 2 . 3 . 4 . … . (m – 1) . m.
Ví dụ 1: Ta có,
+ 1! = 1.
+ 10! = 1 . 2 . 3 . 4 . … . 10 = 3628800.
+ (m + 1)! = 1 . 2 . 3 . 4 . … . m . (m + 1).
3. Cách tính giai thừa trên máy tính Casio fx 580VN Plus và fx 570VN Plus
Ta thực hiện tính m giai thừa trên máy tính cầm tay như sau:
m → SHIFT → x- 1 → dấu “=”.
Ví dụ 2: Thực hiện tính các giai thừa sau bằng máy tính cầm tay: 5!, 9!.
Bấm 5!: 5 → SHIFT → x- 1 → dấu “=”. Kết quả hiển thị trên máy tính: 5! = 120.
Bấm 9!: 9 → SHIFT → x- 1 → dấu “=”. Kết quả hiển thị trên máy tính: 9! = 362880.
4. Một số tính chất của giai thừa
Sau đây là một số tính chất quan trọng của giai thừa:
+ (m + k)! = (m + k) (m + k – 1) (m + k – 2)!
+ m! = m (m – 1)!
+ m! = m (m – 1) (m – 2) … (m – k + 1) (m – k)!, với 4 ≤ k ≤ n.
Ví dụ 3. Ta có,
+ 7! = 7 . 6! = 5040.
+ (m + 1)! = (m + 1) m!
+ (m + 3)! = (m + 3) (m + 2) (m + 1) m!
5. Một số dạng toán liên quan đến giai thừa
5.1. Dạng 1: Bài toán rút gọn biểu thức chứa giai thừa
* Phương pháp giải:
Để rút gọn một biểu thức chứa giai thừa, ta vận dụng định nghĩa và các tính chất của giai thừa đã được nêu ở trên vào để biến đổi biểu thức theo các cách thích hợp nhất, khi đó ta thu được biểu thức đã được rút gọn.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho các biểu thức dưới đây. Em hãy rút gọn các biểu thức đã cho:
a) H = ;
b) K = .
ĐÁP ÁN
a) Áp dụng tính chất m! = m (m – 1) (m – 2) … (m – k + 1) (m – k)!, ta được:
H =
= m (m – 1) (m – 2) (m – 3).
Vậy H = m (m – 1) (m – 2) (m – 3).
b) Áp dụng tính chất (m + k)! = (m + k) (m + k – 1) (m + k – 2)! (0 ≤ k), ta được:
K =
= (m + 4) (m + 3).
Vậy K = (m + 4) (m + 3).
Bài 2. Em hãy rút gọn các biểu thức sau đây:
a) U = ;
b) V = .
ĐÁP ÁN
a) Áp dụng tính chất m! = m (m – 1) (m – 2) … (m – k + 1) (m – k)!, ta được:
U =
= m (10 – m).
Vậy U = m (10 – m).
b) Áp dụng tính chất m! = m (m – 1) (m – 2) … (m – k + 1) (m – k)!, ta được:
V =
= (m – k + 3) (m – k + 2).
Vậy V = (m – k + 3) (m – k + 2).
5.2. Dạng 2: Bài toán giải phương trình chứa giai thừa
* Phương pháp giải:
Muốn giải phương trình chứa giai thừa, ta vận dụng định nghĩa và các tính chất của giai thừa đã được nêu ở trên vào để biến đổi phương trình theo các cách thích hợp nhất, sau đó ta giải phương trình vừa biến đổi được.
Bài tập vận dụng:
Bài 3. Em hãy giải các phương trình sau đây:
a) m! = 3(m – 1)!;
b) (m + 1)! + m! = – (m – 1)!;
c) (m + 2)! – 5m! = 5(m + 1)!.
ĐÁP ÁN
a) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
m! = 3(m – 1)!
m(m – 1)! = 3(m – 1)!
m = 3 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: m = 3.
b) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
(m + 1)! + m! = – (m – 1)!
(m + 1) m (m – 1)! + m (m – 1)! = – (m – 1)!
(m + 1) m + m = – 1
m2 + 2m + 1 = 0
m = – 1 (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
(m + 2)! – 5m! = 5(m + 1)!
(m + 2) (m + 1) . m! – 5m! = 5(m + 1) m!
(m + 2) (m + 1) – 5 = 5(m + 1)
m2 + 3m + 2 – 5 = 5m + 5
m2 – 2m – 8 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: m = 4.
Bài 4. Em hãy giải các phương trình sau đây:
a) – m = 44;
b) (8 – m)! (m – 1)! = (7 – m)! m!.
ĐÁP ÁN
a) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
– m = 44
– m = 44
m (m – 1) – 2m = 88
m2 – 3m – 88 = 0
⇔ m = -8 (loại) hoặc m = 11 (thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: m = 11.
b) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
(8 – m)! (m – 1)! = (7 – m)! m!
(8 – m) (7 – m)! (m – 1)! = (7 – m)! m (m – 1)!
8 – m = m
2m = 8
m = 4 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: m = 4.
Bài 5. Em hãy giải các phương trình sau đây:
a) m + 90 = ;
b) .
ĐÁP ÁN
a) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
m + 90 =
m + 90 =
2m + 180 = m (m – 1)
m2 – 3m – 180 = 0
⇔ x = -12 (loại) hoặc x = 15 ( thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: m = 15.
b) Ta có điều kiện sau: .
Ta giải phương trình như sau:
(13 – m)! m! = (12 – m)! (m + 1)!
(13 – m) (12 – m)! . m! = (12 – m)! (m + 1) m!
13 – m = m + 1
2m = 12
m = 6 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: m = 6.
Kết luận, giai thừa là một phần kiến thức cần thiết, chúng có một vai trò quan trọng trong các công thức về hoán vi – chỉnh hợp – tổ hợp, do đó chúng ta cần nắm vững khái niệm và các tính chất liên quan đến nó, đồng thời thực hiện tính toán tốt các dạng toán như rút gọn biểu thức và giải phương trình có chứa giai thừa, để chuẩn bị cho kiến thức mới về các công thức hoán vi – chỉnh hợp – tổ hợp.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
