Mình không tự chọn dùng ln đâu, nó tự nhiên xuất hiện khi tính đạo hàm ấy. Muốn tính đạo hàm, bạn phải xem định nghĩa của đạo hàm đã. Đạo hàm của hàm f(x) là giới hạn của (f(x+h)-f(x))/h khi h tiến tới 0. Giờ thì, trong lớp Giải tích, bạn học vài mẹo (quy tắc tích, quy tắc chuỗi, quy tắc tổng, v.v.) và đạo hàm của vài hàm cơ bản để bạn có thể tính đạo hàm của bất kỳ hàm đơn giản nào mà không cần phải lo nghĩ về định nghĩa nữa.
Vậy nếu A là một số thực dương, thì đạo hàm của f(x)=Ax là gì? Thương số vi phân là
-
(Ax+h-Ax)/h
và ta phải tính giới hạn này khi h=0. Giờ, Ax+h=AxAh nên ta có thể tách nó ra khỏi tử số, và ta có thể đưa nó ra khỏi giới hạn vì nó không phụ thuộc vào h. Thế thì ta được giới hạn của (Ax+h-Ax)/h khi h=0 thực ra là Ax nhân với giới hạn của (Ah-1)/h khi h=0. Giờ, giới hạn của (Ah-1)/h khi h=0 chỉ là một số cố định nào đó phụ thuộc vào A chứ không phụ thuộc vào x. Ta có thể đặt tên gì cũng được, nên cứ gọi nó là L*A. Điều mình vừa chứng minh là đạo hàm của Ax là LA*Ax trong đó LA* là giới hạn của mình. Giá trị L*A*, dù nó là gì đi nữa, cũng tự nhiên xuất hiện từ định nghĩa của đạo hàm.
Có thể không rõ ràng, nhưng L*A=ln(A). Thực ra bạn có thể dùng điều này để định nghĩa giá trị của e. Bạn có thể định nghĩa “e” là số A sao cho Le=1, rồi làm thêm vài bước nữa với tính chất của đạo hàm để chứng minh rằng e^(LA*)=A.
Cuối cùng, từ eln x=x (đây là tính chất định nghĩa của logarit), ta có thể tìm đạo hàm của ln(x). Ta lấy đạo hàm ẩn của cả hai vế để được
-
(dln/dx)eln x = 1
nhưng eln x = x nên ta được
-
dln/dx = 1/x
Vì ln(x) là một nguyên hàm của 1/x, nên ta có thể dùng Định lý cơ bản của Giải tích để tính tích phân của dx/x từ x=a đến b là ln(b)-ln(a).
Tóm lại là chúng ta không chọn ln(A), mà nó chọn chúng ta!
Đạo hàm của Ax có dạng L*AAx trong đó LA* chỉ là một logarit nào đó. Vì logarit này chắc chắn đặc biệt, vì nó tự nhiên xuất hiện từ đạo hàm mà không cần ta phải làm gì cả, nên ta có thể nói cơ số của nó là đặc biệt và đặt cho nó ký hiệu “e”. Vì thế, log*e* đặc biệt nên ta gọi nó là “logarit tự nhiên”. Việc nó tự nhiên xuất hiện mà không cần ta phải làm gì cả là cực kỳ quan trọng. Quan trọng đến nỗi khi các nhà toán học viết “log(x)” thì thường hiểu là “ln(x)”, ta thậm chí không cần xem xét khả năng các cơ số khác của logarit có thể quan trọng.
