Hàm số đồng biến là một dạng toán về sự đơn điệu của hàm số Toán 9. Đối với dạng này chúng ta cần nắm rõ điều kiện tìm m để hàm số đồng biến trên R. Đồng thời cũng nhớ một số trường hợp đặc biệt để vận dụng tính nhanh. Bài viết VOH Giáo Dục chia sẻ dưới đây sẽ là một tài liệu hữu ích giúp các bạn giải các bài toán một cách dễ dàng và nhanh chóng. Cùng tham khảo nhé!
1. Nhắc lại tính đồng biến của hàm số bậc nhất và dạng toán tìm m để hàm số đồng biến
1.1. Tính đồng biến của hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0)
Hàm số bậc nhất là hàm số có tập xác định trên R
Điều kiện để hàm số là hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
Ví dụ 1: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm đồng biến trên R
a) y = 3x + 3
b) y = -x + 8
c)
ĐÁP ÁN
a) Ta có a = 3 > 0 nên hàm y = 3x + 3 là hàm đồng biến trên R
b) Ta có a = -1 < 0 nên hàm y = -x + 8 không phải là hàm đồng biến trên R.
c) Ta có
Nên hàm số đã cho đồng biến trên R
1.2. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m2 – m)x + 1
a) Tìm điều kiện của m để hàm số là hàm số bậc nhất
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên R
ĐÁP ÁN
a) Để hàm số là hàm bậc nhất thì m2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 hoặc m ≠ 1
b) Để hàm sô đồng biến trên R thì m2 – m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1
Ví dụ 3: Cho hàm số
a) Tìm điều kiện của m để hàm số là hàm số bậc nhất.
b) Với m = 5 thì hàm số đồng biến hay ko?
ĐÁP ÁN
a) Để hàm số là hàm số bậc nhất thì
Vậy với m ≠ 1 thì hàm số đã cho là hàm bậc nhất
b) Với m = 5 thì ta có hàm số y = 2x + 2
Vì a = 2 > 0 nên hàm số y = 2x + 2 đồng biến trên R
Vậy với m = 5 thì hàm đã cho đồng biến trên R
Ví dụ 4: Cho hàm số
a) Tìm điều kiện của m để hàm số là hàm bậc nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hàm số là hàm đồng biến.
ĐÁP ÁN
a) Để hàm số là hàm bậc nhất thì
Vậy với m ≠ 0 và m ≠ 1 thì hàm số đã cho là hàm bậc nhất.
b) Để hàm số là hàm đồng biến thì
Vậy để hàm số là đồng biến thì m > 1 hoặc m < 0.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = (m2 – 4m + 7)x + 3. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
ĐÁP ÁN
Ta có y = (m2 – 4m + 7)x + 3 = (m2 -2.m.2 + 22 + 3)x + 3 = [(m – 2)2 + 3]x + 3
Vì (m – 2)2 ≥ 0 ⇒ (m – 2)2 + 3 ≥ 3 > 0
Suy ra hàm số y = (m2 – 4m + 7)x + 3 luôn đồng biến trên R với mọi m.
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R:
ĐÁP ÁN
Ta có
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R với mọi m.
2. Xét tính đồng biến của hàm số không phải hàm số bậc nhất và dạng toán tìm m để hàm số đồng biến trên tập K
2.1. Xét tính đồng biến của hàm số không phải hàm số bậc nhất
Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Các xét tính đồng biến của hàm số: Ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = [f(x1)- f(x2)].(x1 – x2) hoặc
Nếu A > 0 ( hoặc B > 0) thì hàm số y = f(x) đồng biến.
» Xem thêm: Hàm số bậc nhất đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Ví dụ 7: Xét tính đồng biến của các hàm số sau:
a) y = x2 + 1 với mọi x > 0.
b) với mọi x thuộc tập xác định
ĐÁP ÁN
a) Đặt y = f(x)
Lấy x1 ≠ x2 ∈ R ta có:
với x1 > 0, x2 > 0 thì x1 + x2 > 0
Vậy hàm số y = x2 +1 đồng biến với mọi x > 0.
b) Điều kiện xác định x ≥ -1
Đặt y = f(x)
Lấy x1 ≠ x2 thỏa mãn x1 > -1, x2 > -1 ta có:
Ta thấy B > 0 với mọi x ≥ -1
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -1.
2.2. Tìm m để hàm số đồng biến trên K
Ví dụ 8: Tìm m để các hàm số:
a) y = mx2 đồng biến với mọi x > 0.
b) y = m.(mx – 1) đồng biến trên R.
ĐÁP ÁN
Ta có:
Ta thấy hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và có
suy ra hàm số đồng biến trên R với mọi m.
Ví dụ 9: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất đồng biến trên R:
y = (m2 + m)x2 + (m + 3)x + 5
ĐÁP ÁN
Để hàm số y = (m2 + m)x2 + (m – 3)x + 5 là hàm bậc nhất thì m2 + m = 0 và m – 3 ≠ 0 ⇔ m = 0 hoặc m = -1
Với m = 0 thì hàm số y = 3x + 5 có a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên R
với m = -1 thì hàm số y = 2x + 5 có a = 2 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên R
Vậy m = 0 và m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hy vọng với bài viết này các bạn có thể nắm rõ kiến thức cơ bản về hàm đồng biến, biết nhiều cách tìm m để hàm số đồng biến và sẽ là nền tảng để các bạn ôn thi lớp 10. Đừng quên chia sẻ các cách giải khác hoặc đóng góp ý kiến của bạn cho chúng tôi. Chúc các bạn luôn đạt kết quả cao trong học tập!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
