Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. Đây là kiến thức nền tảng trong chương trình Toán lớp 10, thường xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm về phương trình đường thẳng và vectơ. Bài viết dưới đây giải thích rõ đáp án, lý do toán học và cách áp dụng vào bài tập thực tế.
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
Đáp án: Vô số. Một đường thẳng bất kỳ luôn có vô số vectơ chỉ phương. Theo định nghĩa trong SGK Hình học 10, vectơ u⃗ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu u⃗ ≠ 0⃗ và giá của u⃗ song song hoặc trùng với Δ.
Nếu u⃗ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ, thì k·u⃗ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của Δ. Vì k có thể nhận mọi giá trị thực khác 0 — kể cả số âm — nên luôn tồn tại vô số vectơ chỉ phương tương ứng với mỗi đường thẳng. Đáp án đúng trong các đề trắc nghiệm là D. Vô số.
Tại sao một đường thẳng lại có vô số vectơ chỉ phương?
Lý do xuất phát từ bản chất của tích vectơ với số vô hướng. Khi nhân một vectơ với hằng số k ≠ 0, vectơ mới thu được vẫn song song với vectơ gốc, tức là vẫn song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu. Do đó nó vẫn thỏa mãn định nghĩa vectơ chỉ phương.
Ví dụ minh họa: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u⃗ = (1; 2). Khi đó, tất cả các vectơ dưới đây đều là vectơ chỉ phương của d:
- (2; 4) — nhân u⃗ với k = 2
- (−1; −2) — nhân u⃗ với k = −1
- (3; 6) — nhân u⃗ với k = 3
- (0,5; 1) — nhân u⃗ với k = 0,5
Mọi vectơ có dạng k·(1; 2) với k ∈ ℝ, k ≠ 0 đều là vectơ chỉ phương của d — và vì k có vô số giá trị, nên có vô số vectơ chỉ phương. Lưu ý thêm: tất cả vectơ chỉ phương của cùng một đường thẳng đều cùng phương với nhau.
Câu hỏi thường gặp về vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến khác nhau thế nào?
Vectơ chỉ phương song song với đường thẳng; vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng. Cả hai đều có vô số.
Biết vectơ pháp tuyến, tìm vectơ chỉ phương bằng cách nào?
Nếu vectơ pháp tuyến là n⃗ = (a; b) thì một vectơ chỉ phương là u⃗ = (b; −a) hoặc u⃗ = (−b; a).
Một điểm và một vectơ chỉ phương có xác định duy nhất một đường thẳng không?
Có. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
Tóm lại, câu trả lời cho câu hỏi “một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương” là vô số — bởi vì mọi bội số k·u⃗ (k ≠ 0) của bất kỳ vectơ chỉ phương u⃗ nào cũng đều thỏa mãn định nghĩa. Đây là tính chất cơ bản cần ghi nhớ khi học về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
