Trong bài đầu các bạn đã biết những kiến thức khởi đầu về tập xác định, tính chẵn, lẻ, cách tính chu kì tuần hoàn và tập giá trị của các hàm số lượng giác. Phần tiếp nối với những kiến thức trên là phương trình lượng giác. Ở bài học hôm nay, VOH Giáo Dục sẽ đưa tới các bạn các dạng bài toán cực hay về phương trình sinx = a một cách cụ thể và chi tiết.
1. Công thức nghiệm của phương trình sinx = a
1.1. Công thức nghiệm của phương trình sinx = a tính bằng radian
a) Xét phương trình sinx = a. (1)
Trường hợp |a| > 1
Ở bài 1 các bạn đã biết -1 ≤ sinx ≤ 1 với mọi x, do đó phương trình (1) vô nghiệm.
Trường hợp |a| ≤ 1
Ở trường hợp này, phương trình có nghiệm. Cụ thể
+ Với kết quả số đẹp của việc bấm máy Shift sin(a) (trước tiên đổi máy về radian, rồi mới thực hiện bấm máy kiểm tra). Đặt Shift sin(a) = . Công thức nghiệm của phương trình sinx = a ⇔ sinx = sinα ⇔
+ Với kết quả số không đẹp của việc bấm máy Shift sin(a) (trước tiên đổi máy về radian, rồi mới thực hiện bấm máy kiểm tra).
Công thức nghiệm của phương trình sinx = a là
Ta đọc là ac-sin-a, nghĩa là cung đó sin bầng a.
Chú ý: + arcsin(a) là cung thuộc [;] mà có sin bằng a
+ sinx = a có nghiệm nếu và chỉ nếu |a| ≤ 1.
b) Phương trình sin(u(x)) = sin(v(x)) ⇔
1.2. Công thức nghiệm của phương trình sinx = a tính bằng độ
Phương trình sinx = sinβo có các nghiệm là
Lưu ý: Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình lượng giác.
1.3. Các trường hợp đặc biệt của giá trị a
+ a = 1 hay sinx = 1 có các nghiệm là
x = + k2π, k ∈
+ a = -1 hay sinx = -1 có các nghiệm là
x = + k2π, k ∈
+ a = 0 hay sinx = 0 có các nghiệm là
x = kπ, k ∈
2. Các dạng bài tập về phương trình sinx = a
2.1. Dạng toán 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản dạng sinx = a
*Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức nghiệm trên để giải toán.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) sin(x + 3) = -1
*Hướng dẫn giải:
Ta thấy a = -1, đây là giá trị nằm trong các trường hợp đặc biệt ở mục 3 phần I. Ta áp dụng công thức nghiệm và giải.
Giải
sin(x + 3) = -1
⇔ x + 3 = + k2π, k ∈
⇔ x = -3 + k2π, k ∈
Vậy các nghiệm phương trình là x = -3 + k2π, k ∈
b) sin( 2x + 50o) = –
*Hướng dẫn giải:
Ở đây ta thấy vế trái của phương trình tính theo đơn vị độ. Ta áp dụng công thức nghiệm tính bằng độ ở mục 2 phần I nêu trên. Trước tiên ta tìm giá trị β bằng cách:
– Bước 1: Kiểm tra máy tính đã ở trạng thái tính độ chưa. Nếu chưa thì ta đổi máy về đơn vị độ.
– Bước 2: Bấm máy shift sin ( ) ta được giá trị β = – 60o
– Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm tính bằng độ để giải và kết luận nghiệm.
Giải
sin(2x + 50o) = –
⇔ sin(2x + 50o) = sin(-60o)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Vây các nghiệm của phương trình là
x = 55o + k180o, k ∈ và x = 95o + k180o, k ∈
2.2. Dạng toán 2: Tìm số nghiệm của phương trình sinx = a thuộc khoảng (a;b), nửa khoảng [a;b) hay đoạn [a;b]
*Phương pháp giải:
• Bước 1: Ta giải phương trình sinx = a như ở dạng 1
• Bước 2: Ta xét các nghiệm x sao cho a < x < b. Từ đó ta suy ra giá trị của k (k ∈ ).
• Bước 3: Kết luận: Có bao nhiêu giá trị nguyên k sẽ có bấy nhiêu nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ: Phương trình sin(3x) = 0 có bao nhiêu nghiệm thoả mãn ≤ x ≤ là:
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Giải
Ta có sin(3x) = 0
⇔ 3x = kπ, k ∈
⇔ x = k, k ∈
Với ≤ x ≤
⇔ ≤ k ≤
⇔ -1,5 ≤ k ≤ 1,5
⇒ k = -1; 0; 1.
Vậy có 3 nghiệm thoả mãn điều kiện bài toán.
Chọn đáp án A.
2.3. Dạng toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình sinx = m
*Phương pháp giải:
– Bước 1: Chuyển sinx qua 1 vế, các số còn lại một vế. Phương trình có dạng sinx = f(m)
– Bước 2:
+ Phương trình có nghiệm khi -1 ≤ sinx ≤ 1
⇔ -1 ≤ f(m) ≤ 1
+ Phương trình vô nghiệm khi |sinx| > 1 ⇔ f(m) > 1 hoặc f(m) < -1
– Bước 3: Giải bất phương trình suy ra m và kết luận.
Ví dụ: Tìm m để phương trình sin(3x + ) = m + 1 (* ) có nghiệm.
Giải
Để phương trình (*) có nghiệm ⇔ -1 ≤ m + 1 ≤ 1
⇔ -2 ≤ m ≤ 0 (cộng -1 và cả 3 vế của bất phương trình)
Vậy -2 ≤ m ≤ 0 thoả mãn yêu cầu bài toán.
3. Bài tập về phương trình lượng giác sinx = a
Câu 1: Phương trình sin2x = – sin có nghiệm dạng x = α + kπ và x = β + kπ (k ∈ ), ≤ α, β ≤ . Khi đó tích α.β bằng:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Trước tiên, ta biến đổi phương trình đề bài cho về dạng sin(u(x)) = sin(v(x)) bằng cách triệt tiêu dấu ” – ” ở bên vế phải. Ta áp dụng công thức -sin(u(x)) = sin(-u(x)). Sau đó, ta giải và tính tích α.β.
Ta có sin2x = – sin
⇔ sin2x = sin
⇔
⇔
⇒ α.β = .
=
Chọn đáp án A.
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có tập nghiệm là x = + k2π và x = + k2π, (k ∈ )
A. sinx =
B. sinx =
C. sinx =
D. sinx =
ĐÁP ÁN
Cách 1
A. sinx = vô nghiệm do > 1
B. sinx = ⇔ sinx = sin ⇔
C. sinx = ⇔ sinx = sin ⇔
D. sinx = ⇔ sinx = ⇔
Chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Ta có sin = sin =
và sin = sin =
Câu 3: Để phương trình sin2 + m = 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có nghiệm?
A. Không tồn tại m
B. m ∈ [-2; 1]
C. Mọi giá trị của m
D. m ∈ [-1; 2]
ĐÁP ÁN
Ta có sin2 + m = 2
⇔ sin2 = 2 – m
mà 0 ≤ sin2 ≤ 1
⇔ 0 ≤ 2 – m ≤ 1
⇔ -2 ≤ -m ≤ 1
⇔ 2 ≥ m ≥ -1
Vậy m ∈ [-1; 2] thoả mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án D.
Câu 4: Tìm tổng các của phương trình sin = cos trên [0; π]
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Ta có sin = cos
⇔ sin = sin
⇔ sin = sin
⇔
⇔
⇔
⇔
+ Xét 0 ≤ ≤ π
⇔ ≤ ≤
⇔ -0,25 ≤ k ≤ 3,75
⇒ k = 0; 1; 2; 3.
⇒ x ∈ {; ; ; }
+ Xét 0 ≤ ≤ π
⇔ 0 ≤ k ≤ 2
⇒ k = 0; 1; 2.
⇒ x ∈ {0; ; π}
Tổng các nghiệm là + +++ 0 ++ π =
Chọn đáp án B.
Câu 5: Số nghiệm của phương trình sin4x = 0 trên nửa khoảng [0; 2π)
A. 8
B. 9
C.7
D. 0
ĐÁP ÁN
Ta có: sin4x = 0
⇔ 4x = kπ
⇔ x = , k ∈
Xét 0 ≤ < 2π
⇔ 0 ≤ k < 8
⇒ k = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
Vậy có 8 nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A.
Trên đây là toàn bộ kiến thức và các dạng bài tập từ mức độ đơn giản đến phức tạp, có phương pháp và lời giải chi tiết, cụ thể về phương trình sinx = a. VOH Giáo Dục mong các bạn sẽ luôn theo dõi các bài chuyên đề trên kênh VOH để củng cố thêm kiến thức cho bản thân và học tập tốt hơn.
Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
