Khối chóp đều
-
Là khối chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc giữa đáy và các cạnh bên bằng nhau)
-
Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy;
-
Các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau;
-
Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau;
-
Chiều cao $h$ khối chóp xác định bởi $h=sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và $b$ là độ dài cạnh bên.
-
Khối chóp n giác đều, độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b có $V=dfrac{1}{24}{{a}^{2}}cot dfrac{pi }{n}sqrt{4{{b}^{2}}-dfrac{{{a}^{2}}}{{{sin }^{2}}dfrac{pi }{n}}}.$
Một số trường hợp đặc biệt của khối chóp đều
- Khối tứ diện đều cạnh $a$ có $V=dfrac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ trong đó $h=dfrac{asqrt{6}}{3}$ là chiều cao khối tứ diện đều.
- Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=dfrac{{{a}^{2}}sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
- Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=dfrac{{{a}^{2}}sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
- Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a,$ có $V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{6}.$
- Khối bát diện đều cạnh $a$ là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có $V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
- Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=dfrac{{{a}^{2}}sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$
>>Xem thêm: Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt
>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và thể tích của khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy
>>Xem thêm: Giải đáp học sinh – Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? để hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất.
Khối chóp có độ dài ba cạnh bên bằng nhau
Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đường cao của khối chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy chiều cao khối chóp $h=sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$
Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=…=S{{A}_{m}}(3le mle n)$ khi đó đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{m}}.$
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có $AB=a,text{ }BC=3a,text{ }CA=dfrac{5a}{2}.$ Biết ${A}’A={A}’B={A}’C$ và cạnh bên $A{A}’$ tạo với mặt phẳng đáy $left( ABC right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $dfrac{5sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
B. $dfrac{15sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
C. $dfrac{15sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$
D. $dfrac{5sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$
Giải. Vì ${A}’A={A}’B={A}’C$ nên hình chiếu vuông góc của [{A}’] xuống mặt phẳng $left( ABC right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC.$
Ta có ${A}’Obot left( ABC right)Rightarrow left( A{A}’,left( ABC right) right)=widehat{{A}’AO}={{60}^{0}}Rightarrow {A}’O=OAtan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}sqrt{3}=dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}sqrt{3}$
$Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{ABC}}.{A}’O=dfrac{AB.BC.CA}{4}sqrt{3}=dfrac{15sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=1,$ tất cả các cạnh còn lại bằng $sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
A. $dfrac{sqrt{3}}{3}.$
B. $dfrac{sqrt{6}}{2}.$
C. $dfrac{sqrt{3}}{2}.$
D. $dfrac{sqrt{6}}{3}.$
Giải. Tứ giác $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $sqrt{3}$ nên là một hình thoi có độ dài cạnh bằng $sqrt{3}.$
Vì $SB=SC=SD=sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân tại $C$ nên $Hin AC$ là trung trực của cạnh $BD.$
Gọi $O=ACcap BD$ chú ý $Delta SBD=Delta ABD(c-c-c)Rightarrow SO=AORightarrow SO=dfrac{AC}{2}Rightarrow Delta SAC$ vuông tại $S.$
Do đó $AC=sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2Rightarrow SH=dfrac{SA.SC}{AC}=dfrac{sqrt{3}.1}{2}=dfrac{sqrt{3}}{2}.$
Ta có $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8Rightarrow BD=2sqrt{2}.$
Do đó ${{S}_{ABCD}}=dfrac{1}{2}AC.BD=dfrac{1}{2}.2.2sqrt{2}=2sqrt{2}Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=dfrac{1}{3}.2sqrt{2}.dfrac{sqrt{3}}{2}=dfrac{sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.
Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $MBCD$ bằng
