a) Sai. Nguyên tắc chung: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của một điểm (Mleft( {{x_M};{y_M};{z_M}} right)) lên các mặt phẳng được xác định:
– Hình chiếu lên mặt (Oxy): Tọa độ là (left( {{x_M};{y_M};0} right)).
– Hình chiếu lên mặt (Oxz): Tọa độ là (left( {{x_M};0;{z_M}} right)).
– Hình chiếu lên mặt (Oyz): Tọa độ là (left( {0;{y_M};{z_M}} right)).
Sử dụng nguyên tắc trên, suy ra hình chiếu vuông góc của điểm C(12; 0; 7) trên mặt sàn (Oxy) là điểm C’(12; 0; 0).
b) Đúng. Nếu (Bleft( {{x_B};{y_B};0} right)) thì (overrightarrow {AB} = left( {{x_B};{y_B} – 6; – 5} right)).
c) Sai. C’(12; 0; 0) là hình chiếu của điểm C trên mặt phẳng (Oxy).
Lấy điểm (Kleft( {{x_K};{y_K};{z_K}} right)) là điểm đối xứng của C qua C’. Suy ra C’ là trung điểm của đoạn thẳng CK: (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{frac{{{x_K} + 12}}{2} = 12}{frac{{{y_K} + 0}}{2} = 0}{frac{{{z_K} + 7}}{2} = 0}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_K} = 12}{{y_K} = 0}{{z_K} = – 7}end{array}} right. Rightarrow Kleft( {12;0; – 7} right)).
Xét hai tam giác vuông ({rm{Delta }}CC’B) và ({rm{Delta }}C’BK), ta có CC’ = C’K, C’B là cạnh chung.
Suy ra ({rm{Delta }}CC’B = {rm{Delta }}KC’B) (c,g,c) ( Rightarrow widehat {CBC’} = widehat {KBC’}) hay ({alpha _2} = {alpha _3}). Mà ({alpha _1} = {alpha _2}) (theo tính chất phản xạ của ánh sáng) nên ({alpha _1} = {alpha _3}) (hai góc ở vị trí đối đỉnh).
Do đó ba điểm A, B, K thẳng hàng.
Ta có (overrightarrow {AB} = koverrightarrow {AK} Leftrightarrow left( {{x_B};{y_B} – 6; – 5} right) = kleft( {12; – 6; – 12} right)).
( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} = 12k}{{y_B} – 6 = – 6k}{ – 5 = – 12k}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} = 12 cdot frac{5}{{12}} = 5}{{y_B} = – 6 cdot frac{5}{{12}} + 6 = frac{7}{2}}{k = frac{5}{{12}}}end{array}} right. Rightarrow Bleft( {5;frac{7}{2};0} right)).
d) Đúng. (AB = sqrt {{5^2} + {{left( {frac{7}{2} – 6} right)}^2} + {{( – 5)}^2}} = frac{{15}}{2}), SA = 3.
Suy ra (frac{{AB}}{{SA}} = frac{{frac{{15}}{2}}}{3} = frac{5}{2} Leftrightarrow 2overrightarrow {AB} = 5overrightarrow {SA} Leftrightarrow 2left( {5; – frac{5}{2}; – 5} right) = 5left( { – a;6 – b;5 – c} right))
( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{2.5 = – 5a}{2.left( { – frac{5}{2}} right) = 5.left( {6 – b} right)}{2.left( { – 5} right) = 5.left( {5 – c} right)}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{10 = – 5a}{ – 5 = 30 – 5b}{ – 10 = 25 – 5c}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{a = – 2}{b = 7}{c = 7}end{array}} right.).
Vậy a + b + c = -2 + 7 + 7 = 12.
