Bài viết Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng.
Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng (cực hay)
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
Cho hai điểm A(xA; yA) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB:
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
⇒ (d) : đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc AB.
⇒ phương trình đường thẳng (d):
⇒ Phương trình đường thẳng d.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(4; -1). Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB.
A. x – y – 1 = 0 B. 2x – 3y + 1 = 0 C. 2x + 3y – 5 = 0 D. 3x – 2y – 1 = 0
Lời giải
+ Gọi M trung điểm của AB. Tọa độ của M là :
⇒ M( 1; 1)
+ Ta có AB→ = (6; -4) = 2(3; -2)
+ Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M( 1; 1) và nhận n→ = (3; -2) làm VTPT.
Phương trình (d): 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0
Hay (d): 3x – 2y – 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho điểm A( 1; -3) và B( 3; 5) . Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.
A. x – 2y + 1 = 0 B. x + 4y – 4 = 0 C. x – 4y – 6 =0 D. 2x – 8y + 7 = 0
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB thì tọa độ của M là :
⇒ M( 2; 1)
Gọi d là đường trung trực của AB .
( d) :
⇒ Phương trình tổng quát của AB:
2(x – 2) + 8(y – 1) = 0 ⇔ 2x – 8y – 12 = 0
Hay ( d) : x – 4y – 6 = 0
Chọn C.
Ví dụ 3. Đường trung trực của đoạn AB với A(1 ; -4) và B( 5 ; 2) có phương trình là:
A. 2x + 3y – 3 = 0 B. 3x + 2y + 1 = 0 C. 3x – y + 4 = 0 D. x + y – 1 = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I( 3 ;-1)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
4( x – 3) + 6( y + 1) = 0 hay 4x + 6y – 6 = 0 ⇔ 2x + 3y – 3 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4. Đường trung trực của đoạn AB với A( 4 ;-1) và B( 1 ; -4) có phương trình là:
A. x + y – 1 = 0 B. x + y = 0 C. x – y = 1 D. x – y = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I( ; – )
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
– 3(x – ) – 3( y + ) = 0 hay x + y = 0
Chọn B.
Ví dụ 5. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; – 4) và B(1; 2) có phương trình là:
A. y + 1 = 0 B. x + 1 = 0 C. y – 1 = 0 D. x – 4y = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I(1 ; -1)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
0(x – 1) + 6(y + 1) = 0 hay y + 1 = 0
Chọn A.
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(1 ; 2) là trung điểm của BC và B(-2 ; 2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
A. x + y – 3 = 0 B. x – y + 1 = 0 C. 2x – y = 0 D. x – 1 = 0
Lời giải
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM :
⇒ Phương trình AM : 3(x – 1) + 0(y – 2) = 0 hay x – 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có phương trình BC : x + 2y – 3 = 0 ; đường trung tuyến BM : 4x – y – 3 = 0 và đường phân giác CK : 2x – y – 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
A. 2x – y – = 0 B. 2x + y + = 0 C. 2x – y – = 0 D. Đáp án khác
Lời giải
+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :
⇒ B(1 ; 1)
+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :
⇒ C(3 ;0)
+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :
⇒ M(2 ; )
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :
(d) :
⇒ Phương trình d : 2(x – 2) – 1(y – ) = 0 hay 2x – y – = 0
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho điểm A(1 ; 0) ; điểm B(m – 1 ; 2m + 1). Phương trình đường trung trực của AB là (d) x – y + 10 = 0. Tìm m ?
A. m = B. m = – C. m = 2 D. m =
Lời giải
+ Đường thẳng d có VTPT là n→( 1 ; -1) .
+ vecto AB→( m – 2 ; 2m + 1).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ ⇔ – m + 2 = 2m + 1
⇔ – 3m = – 1 nên m =
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; -4) và B( 3 ; -4) có phương trình là :
A. y + 4 = 0 B. x + y – 2 = 0 C. x – 2 = 0 D. y – 4 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I( 2 ; -4)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
2(x – 2) + 0( y + 4) = 0 hay x – 2 = 0
Câu 2: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; -3) và B(6 ; 7) có phương trình là:
A.2x + 5y – 18 = 0 B. 2x – 5y + 1 =0 C. 2x – 5y -1 = 0 D. 2x + 5y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I(4 ; 2)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
2(x – 4) + 5(y – 2) = 0 hay 2x + 5y – 18 = 0
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(2 ; – 4) là trung điểm của BC và B(1 ;3). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
A. x + 7y – 3 = 0 B. x – 7y + 1 = 0 C. x + 7y + 26 = 0 D. x – 7y – 30 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM :
⇒ Phương trình AM : 1(x – 2)- 7(y + 4) = 0 hay x – 7y – 30 = 0
Câu 4: Cho tam giác ABC có phương trình BC : 2x – y + 3 = 0 ; đường trung tuyến BM : 4x + y + 9 = 0 và đường phân giác CK : 3x + y – 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
A. 2x – y – = 0 B. 2x + y – 2,5 = 0 C. x + 2y – 2,5 =0 D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án: C
+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :
⇒ B(-2 ; -1)
+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :
⇒ C(0,6 ; 4,2)
+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :
⇒ M(-0,7 ; 1,6)
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :
(d) :
⇒ Phương trình d : 1(x + 0,7) + 2(y – 1,6) = 0 hay x + 2y – 2,5 = 0
Câu 5: Cho tam giác ABC có = 300; = 1200. Gọi M(1; 2) là trung điểm BC và C(-2; 4). Viết phương trình đường trung trực của BC?
A. 2x + y – 3 = 0 B. 3x – 2y + 5 = 0 C. 2x + 3y – 5 =0 D. 3x – 2y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Xét tam giác ABC có: = 1800 – – = 300
⇒ = nên tam giác ABC cân tại A.
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM :
⇒ Phương trình AM : 3(x – 1) – 2(y – 2) = 0 hay 3x – 2y + 1 = 0
Câu 6: Cho tam giác ABC có điểm B(-2; 4); phương trình đường thẳng AC: x + 2y – 6 = 0 và đường phân giác trong CN: 2x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC?
A. 2x – y + 3 =0 B. 2x + y – 4 = 0 C. x – 2y + 3 = 0 D. x – 2y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Hai đường thẳng AC và CN cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ:
⇔ x = 2; y = 2 ⇒ C( 2; 2).
+ Gọi d là đường trung trực của BC.
+ Trung điểm của BC là M( 0; 3).
+ Đường thẳng d:
⇒ Phương trình đường thẳng d: 2(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 3 = 0
Câu 7: Cho điểm A(- 2 ; 5) ; điểm B(m – 2 ; 1 – m). Phương trình đường trung trực của AB là (d) 2x – 3y + 10 = 0. Tìm m ?
A. m = B. m = C. m = 8 D. m =
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -3) .
+ vecto AB→( m ; – m – 4).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ ⇔ – 3m = – 2m – 8
⇔ – m = – 8 nên m = 8
Câu 8: Cho điểm A(m-1; 2) và điểm B(-1; m). Phương trình đường trung trực của AB là ( d): 2x – 5y + 9 = 0. Tìm m?
A. m = B. m = C. m = 8 D. m = –
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -5) .
+ vecto AB→( -m ; m – 2).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ ⇔ 5m = 2m – 4
⇔ 3m = – 4 nên m = –
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Các công thức về phương trình đường thẳng
- Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng
- Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
- Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
