Chương VII. Bất phương trình bậc hai một ẩn
1. Tam thức bậc hai
– Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x0 vào f(x), ta được gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x0.
+ Nếu f(x0) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x0.
+ Nếu f(x0) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x0.
+ Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 3.
a) f(x) = x2 + 2×4 – 2
b) f(x) = -x2 + 2x – 3
c) f(x) = 3×2 – √5x
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức f(x) = x2 + 2×4 – 2 không phải là tam thức bậc hai vì có chứa x4
b) Biểu thức f(x) = -x2 + 2x – 3 là tam thức bậc hai với a = -1, b = 2 và c = -3
Khi x = 3 ta có: f(3) = -32 + 2.3 – 3 = = -9 + 6 – 3 = -6 < 0.
Do đó f(x) âm tại x = 3.
c) Biểu thức f(x) = 3×2 – √5x là tam thức bậc hai với a = 3, b = −√5 và c = 0
Khi x = 3 ta có: f(3) = 3.32 – √5 . 3 = 27 – 3√5 > 0
Do đó f(x) dương tại x = 3.
– Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:
+ Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c là nghiệm của f(x).
+ Biểu thức ∆ = b2 – 4ac và Δ′=(b/2)2 – ac lần lượt là biệt thức và biệt thức rút gọn của f(x).
Ví dụ: Tìm biệt thức (hoặc biệt thức thu gọn) và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau:
f(x) = x2 + 2x – 5
Hướng dẫn giải
f(x) = x2 + 2x – 5 có ∆’ = 12 – 1.(-5) = 6 > 0.
Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
x1 = −1 + √6 và x2 = −1− √6
Vậy tam thức bậc hai đã cho có hai nghiệm là x1 = −1 + √6 và x2 = −1− √6
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x
+ Nếu ∆ = 0 và x0 = – b/2a là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0.
+ Nếu ∆ > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của f(x) (x1 < x2) thì:
. (x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x1; x2)
. f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; x1), (x2; +∞)
Chú ý:
+ Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆
Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có)
Bước 3: Xác định dấu của hệ số a
Bước 4: Xác định dấu của f(x)
+ Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆’ thay cho biệt thức ∆.
Ví dụ: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: f(x) = 3×2 + 6x – 9
Hướng dẫn giải
. f(x) = 3×2 + 6x – 9
f(x) có a = 3 > 0 và ∆’ = 32 – 3.(-9) = 36 > 0.
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x – ∞ -3 1 + ∞ f(x) + 0 – 0 +
Vậy, f(x) dương trong khoảng (-∞; -3) và (1; +∞);
f(x) âm trong khoảng (-3; 1).
3. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:
ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c > 0, với a ≠ 0.
Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.
– Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.
Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.
4. Phương trình dạng
Để giải phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:
ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Hướng dẫn giải
(1)
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:
x2 + 3x – 2 = x + 1
⇒ x2 + 2x – 3 = 0
x = 1 hoặc x = -3.
• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
• Với x = -3 ta thấy x + 1 = -3 +1 = -2 < 0 nên không tồn tại 
Do đó x = -3 không là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
5. Phương trình dạng
Để giải phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình: ax2 + bx + c = dx + e
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Kết luận
Trên đây là Lý thuyết Toán lớp 10 Chương VII Bất phương trình bậc hai một ẩn, Các bạn có thể tham khảo và ôn tập cho các kỳ thi sắp tới. Hy vọng rằng bài viết này của Điểm 10+ sẽ hữu ích đối với bạn.
Tham khảo KHÓA HỌC TOÁN LỚP 10: Tại đây
