Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là kiến thức quan trọng trong hình học. Hãy cùng Mathmap tìm hiểu kỹ kiến thức này nhé!
Định nghĩa điểm, đường thẳng, 3 điểm thẳng hàng
- Điểm là gì? Định nghĩa điểm trong hình học.
- Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của điểm. Điểm được biết là khái niệm cơ bản của hình học.
- Ký hiệu: người ta dùng các chữ in hoa A, B, C,… để đặt tên cho điểm.
- Hai điểm không trùng nhau sẽ là hai điểm phân biệt.
- Với nhiều điểm, ta xây dựng được các hình, bất cứ hình nào cũng là một tập hợp các điểm.
Ví dụ: Trong hình trên A, B, C, D là các điểm.
2. Đường thẳng là gì? Định nghĩa đường thẳng trong hình học.
- Đường thẳng cũng là tập hợp của các điểm.
- Đường thẳng thì không bị giới hạn của hai phía.
- Đường thẳng thường được đặt tên bởi chữ cái thường hoặc hai chữ cái thường.
Ví dụ: Trong hình trên là đường thẳng m.
3. Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng
- Điểm A thuộc đường thẳng m, ký hiệu A ∊ m
- Điểm A nằm trên đường thẳng m
- Đường thẳng m chứa điểm A
- Đường thẳng m đi qua điểm A
- Điểm B không thuộc đường thẳng m, ký hiệu B ∉ m
- Điểm B không nằm trên đường thẳng m
- Đường thẳng m không chứa điểm B
- Đường thẳng m không đi qua điểm B
4. Thế nào là 3 điểm thẳng hàng?
Khi 3 điểm cùng thuộc 1 đường thẳng ta nói chúng là 3 điểm thẳng hàng.
3 điểm không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kỳ đường thẳng nào.
Ví dụ: Trong hình trên A, B, C là 3 điểm thẳng hàng.
5. Mối quan hệ giữa 3 điểm thẳng hàng
Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng như hình thì ta có:
- A, B nằm cùng phía đối với C
- B, C nằm cùng phía đối với A
- A, C nằm khác phía đối với B
- Điểm B nằm giữa hai điểm A, C
Lưu ý: Trong 3 điểm thẳng hàng có 1 và chỉ 1 điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng thường được áp dụng
Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt
Chọn một điểm D bất kì: nếu góc ABD + góc DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng.
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc
Nếu đoạn thẳng AB vuông góc a; đoạn thẳng AC vuông góc a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng
Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường trung trực
Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường phân giác
Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng
Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác.
Phương pháp 5: Áp dụng tiên đề Ơ-cờ-lít
Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng m. Nếu AB // m và AC // m thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7).
Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy
Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.
Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, E, M thẳng hàng.
Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ
Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng).
Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Một số bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có ∠ABC = 60° . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).
Bài 5: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho góc BAx = góc ABy.Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng, ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F (E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A). Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
>>>Tham khảo thêm: Cách vẽ sơ đồ tư duy toán để cải thiện và nâng cao kết quả học tập
Trên đây là các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng và một số bài tập liên quan mà Mathmap muốn gửi đến bạn đọc. Hy vọng đây sẽ là tài liệu giúp trẻ học tập tốt hơn trong chương trình toán tiểu học. Ngoài ra, nếu bạn đang tìm một trung tâm dạy toán theo phương pháp Toán sơ đồ của Mỹ thì hãy vào trang toansodo.vn để đăng ký. Hoặc liên hệ với MathMap qua những thông tin sau:
Hệ thống Toán sơ đồ Việt Nam – MathMap Academy
Trụ sở: Toàn 21, Ngõ 98 Thái Hà, Đống Đa, Hà Nội
Cơ sở Long Biên: 79 Lâm Hạ, Long Biên, Hà Nội
Cơ sở Thanh Xuân: 55 Hoàng Ngân, Thanh Xuân, Hà Nội
Cơ sở Cầu Giấy: 40 Ngõ 187 Trung Kính, Cầu Giấy, Hà Nội
Và nhiều cơ sở khác trên toàn quốc.
