ĐKXĐ: $left. left{ begin{array}{l} {x^{2} – 4 geq 0} {2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2 neq 0} end{array} right.Leftrightarrowleftlbrack begin{array}{l} {x < – 2} {x geq 2} end{array} right. right.$
TXĐ của hàm số: $D = left( {- infty; – 2} right) cup leftlbrack {2; + infty} right)$
+) Tiệm cận ngang:
$limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{x^{3}left( {sqrt{x^{2} – 4} + x} right)}{2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2} = limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{xleft( {sqrt{1 – dfrac{4}{x^{2}}} + 1} right)}{2 + dfrac{3}{x} – dfrac{3}{x^{2}} – dfrac{2}{x^{3}}} = + infty$
$limlimits_{xrightarrow – infty}dfrac{x^{3}left( {sqrt{x^{2} – 4} + x} right)}{2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2} = limlimits_{xrightarrow – infty}dfrac{xleft( {- sqrt{1 – dfrac{4}{x^{2}}} + 1} right)}{2 + dfrac{3}{x} – dfrac{3}{x^{2}} – dfrac{2}{x^{3}}} = 0$.
Vậy $y = 0$ là tiệm cận ngang.
+) Tiệm cận đứng: Xét $x = – 2$, có:
$limlimits_{xrightarrow – 2^{-}}dfrac{x^{3}left( {sqrt{x^{2} – 4} + x} right)}{2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2} = limlimits_{xrightarrow – 2^{-}}dfrac{x^{3}left( {sqrt{x^{2} – 4} + x} right)}{left( {x + 2} right)left( {x – 1} right)left( {2x + 1} right)}$
$= limlimits_{xrightarrow – 2^{-}}dfrac{left( {- 2} right)^{3}left( {sqrt{left( {- 2} right)^{2} – 4} – 2} right)}{0^{-}.left( {- 3} right)left( {- 3} right)} = – infty$.
Vậy $x = – 2$ là tiệm cận đứng.
+) Tiệm cận xiên:
$limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{y}{x} = limlimits_{xrightarrowinfty}dfrac{dfrac{sqrt{x^{2} – 4} + x}{x}}{2 + dfrac{3}{x} – dfrac{3}{x^{2}} – dfrac{2}{x^{3}}} = limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{sqrt{1 – dfrac{4}{x^{2}}} + 1}{2 + dfrac{3}{x} – dfrac{3}{x^{2}} – dfrac{2}{x^{3}}} = 1$.
$limlimits_{xrightarrow + infty}(y – x) = limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{x^{3}sqrt{x^{2} – 4} + x^{4} – (2x^{4} + 3x^{3} – 3x^{2} – 2x)}{2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2}$
$= limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{x^{3}left( {sqrt{x^{2} – 4} – x} right) – 3x^{3} + 3x^{2} + 2x}{2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2}$
$= limlimits_{xrightarrow + infty}dfrac{x^{3}dfrac{- 4}{sqrt{x^{2} – 4} + x} – 3x^{3} + 3x^{2} + 2x}{2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2} = – dfrac{3}{2}$.
Vậy $y = x – dfrac{3}{2}$ là tiệm cận xiên.
Đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.
