Công thức cấp số cộng lớp 11 có bài tập ví dụ minh họa

1. Lý thuyết Cấp số cộng và công thức

Trong Toán học, cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 được gọi là công sai. Cấp số cộng luôn đi kèm với cấp số nhân và thường xuất hiện trong đề thi toán học kì 1 lớp 11 và đề thi toán thpt quốc gia.

Khái quát: (u_n) là cấp số cộng với công sai d thì: u_n+1 = u_n + d

Dãy số Un là một cấp số cộng nếu U_n+1 = U_n + d với mọi $n\in N^{\ast }$, d là hằng số.

d= U_{n+1 $\frac{-}{}$}   U_n  được gọi là công sai.

* d= 0: CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số 2;4;6;8;10;12 là một cấp số cộng vì:

4= 2+2

6= 4+2

8= 6+2

10= 8+2

12= 10+2

Đây là CSC có công sai d=2 và số hạng đầu u₁= 3.

2. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: U_n =  U_n + (n-1)d, (n>2). ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Suy ra công sai còn có thể tính bởi công thức:

Ví dụ:

Cho cấp số cộng (U_n) biết U₁ = -2, d= 4. Tìm U₂₀

Bài làm

U₂₀ = U₁ + (20 – 1)d = U₁ +19d = -2 + 19.4 = 74

Vậy U₂₀ = 74.

3. Tính chất của cấp số cộng

• 
• U(n+1) − Un = U(n+2)−U(n+1)
• U(n+1) = [Un + U(n+2)] /2
• Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn: m+ q = 2n

Ví dụ:

Cho ba số 5; x; 15 theo thứ đó lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

Ta có: x= (5 + 15)/ 2 = 10

Vậy $x=\; 10.$

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

+) Tính tổng n số hạng đầu dựa vào số hạng đầu, cuối và số số hạng: 

+) Tính tổng n số hạng đầu dựa vào số hạng đầu, số số hạng và công sai:

Ví dụ minh họa:

Cho CSC (Un) thỏa mãn U₁= -2, d= 4. Tính S₁₀

Hướng dẫn làm:

S₁₀ = 10.U₁ + d.[10. (10-1)]/2 = 10. (-2) + 10.9.4/2 = 160

Vậy S₁₀= 160.

5. Sơ đồ tư duy tổng hợp kiến thức cần nhớ về công thức cấp số cộng

Để có thể ghi nhớ một cách dễ dàng và khoa học hơn, các bạn học sinh có thể tham khảo sơ đồ tư duy dưới đây nhé. Tóm lại là ở phần công thức cấp số cộng chúng ta cần nằm được định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất, cách tính tổng n số hạng đầu của CSC.